本文研究了德西特几何中的中性电弱相互作用问题。借助相互作用场的解，我们发展了Proca场的约简形式，并利用微扰方法在微扰理论的一阶上得到了跃迁幅值的定义。作为我们的形式理论的一个应用，我们研究了在膨胀的德西特宇宙中从真空产生大质量费米子和Z玻色子。我们的结果是对Z玻色子与轻子相互作用的情况下Weinberg-Salam电弱理论的弯曲几何的推广。发现概率是一个依赖于哈勃参数的量，我们证明了这种摄动过程仅在早期宇宙的大膨胀状态下是可能的。得到了大展开情况下的总跃迁概率和速率，并利用量纲正则化从动量积分中提取有限结果。在闵可夫斯基极限下，我们得到从真空中产生粒子的概率正在消失，恢复了众所周知的由于动量-能量守恒而在平坦时空中禁止产生粒子的结果。
在闵可夫斯基场论中，质量矢量场用Proca方程[1,2,3,4]来描述，它与狄拉克方程和麦克斯韦方程一起代表了基本场方程之一。在[5,6]中研究了弯曲几何中的Proca方程，其中讨论了基本解和传播子问题。大质量中性玻色子Z和大质量带电玻色子是在早期宇宙中产生的，这是一个公认的事实[7]，但所涉及的机制还有待进一步研究。在这些机制中，一种是微扰方法，研究场相互作用的粒子产生[8,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22]。这是因为与这一现象相关的计算需要考虑早期宇宙存在大膨胀条件下的量子场[8,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22,23,24,25]。这可以通过使用适合于研究在强引力场存在下产生粒子的过程的微扰方法来适当地完成[8,26,27,28]，因为相对于时间的平移不变性在非平稳背景中会丢失。考虑上述方法的第一步已在[5,8,28]中完成，通过构建de Sitter几何中的自由场和场相互作用理论，并采用场与重力最小耦合的场景[8,28]。这可以通过考虑de Sitter几何中电弱相互作用的Weinberg-Salam理论[1,2,3,4,7,29,30,31,32,33,35,35,36,37,38,39,40]并将跃迁幅度的定义从闵可夫斯基理论扩展到弯曲时空来实现。本文首次研究了早期宇宙膨胀中从真空中产生三重态Z玻色子和电子-正电子对的问题。在目前的研究中，我们限制自己只考虑中性质量Z玻色子和质量费米子之间的相互作用。包含Z玻色子和费米子的电弱相互作用理论可以通过在拉格朗日密度中考虑与通常的电动力学耦合的相互作用项来发展，其中电流表示中性电流。众所周知，粒子产生的现象必须与暴胀一起考虑，但到目前为止，还没有关于粒子产生机制的明确结论。我们提到，文献中对大质量玻色子生成问题的非摄动方法研究较少，但在这里我们提到的几个结果中，有[41]中获得的结果。基础论文[18,19,20,21]讨论了空间膨胀产生粒子的一般框架，证明了粒子产生的现象仅在早期宇宙中才有可能。在本文中，我们提出了一种微扰机制，可以通过计算与de Sitter电弱理论相对应的微扰一阶振幅来解释大质量Z玻色子的产生[28]。在[26,27]中提出了粒子生成问题的微扰方法，并证明了该机制在早期宇宙物质-反物质生成中可能发挥重要作用。
本文的组织如下:第二节简要回顾了德西特几何中自由普鲁卡场和自由狄拉克场的理论，第三节讨论了场间相互作用的方程，第四节给出了普鲁卡场的约简形式，作为定义德西特几何中电弱理论振幅的基础。第五部分研究了Z玻色子和电子-正电子对三重态在真空中自发产生过程的振幅和概率。在本节中，我们获得总概率，并使用组合的维度正则化和Pauli-Villars正则化来计算最终动量的积分。第六节给出了跃迁速率的计算，讨论了大膨胀因子的极限，给出了Z玻色子密度数的估计，第七节给出了结论。
在我们的研究中，我们考虑以共形形式书写的德西特度量元素[42]:
（1)
其中保形时与固有时的关系为，为哈勃参数()。
本文首次提出了一种微扰方法来解释早期宇宙中大质量Z玻色子和大质量费米子的产生。我们在德西特几何中工作，并使用具有保形时间的图表，它涵盖了德西特时空的扩展部分。对于线素(1)，在笛卡尔规范中，我们有不消失的四分体分量，
(2）
[43]研究了de Sitter几何中的自由狄拉克场理论，确定了动量-螺旋度基中的基本旋量解。文献[43]研究了笛卡尔规范下德西特时空中的狄拉克方程，其表达式为:
（3）
在德西特几何中，狄拉克方程的基本解是U、V旋量，具有确定的动量和螺旋度[43]:
（4）
其中为第一类和第二类汉克尔函数。螺旋旋量满足下列关系:
（5）
其中为泡利矩阵，为动量矢量的模量，而。如果我们使用大z处的Hankel函数的渐近展开，就可以建立正/负频率的意义[44]:
（6)
我们得到，上面定义的模态相对于保形时间表现为正/负频率模态:
（7）
这是无限过去的正/负频率模式的行为，它定义了Bunch-Davies真空[26]。
在Proca自由场的情况下，矢量势的空间和时间分量的方程在[5]中得到。
(8) (9)
上述方程与洛伦兹条件[5]
（10）
确定了德西特几何中自由Proca场的归一化解。解的空间部分为[5]:
（11）
Proca方程解的时间分量为[5]:
（12）
在上述方程中，为Proca方程的解，为极化矢量。因为这些矢量在动量上是横向的偏振矢量在动量上是纵向的，因为。Z玻色子的质量表示为，而参数取决于比值，只要。
上述自由场解将成为我们研究在膨胀背景下从真空产生粒子过程的振幅和概率的基础。
微扰QED是在[8]中提出的，它考虑到只有在半整数自旋有意义的正交(非完整)局部框架中才能正确构造具有自旋的量子场理论。在[8]中，根据广义的Carter和McLenagan公式[45]，提出了协变表示的生成器是由与等距相关的Killing向量产生的微分算子。它们形成了一个守恒可观测值的代数，与场方程的算子交换。该方法在整个流形上全局定义量子态，这些量子态与局部坐标无关，因此真空态是唯一且稳定的[8]。在这种方法中，量子态是由相同的全局装置制备和测量的，该装置由包含守恒算子的最大自由生成代数组成[8]。这种方法并不排除宇宙粒子的产生，它可以通过使用局部探测器来观察[46,47]。
为了发展电弱相互作用理论，我们将采用与[8]中使用的方法相同的方法，并且我们假设电弱跃迁是由准备所有量子态的相同全局装置测量的，其中包括与重力保持最小耦合的进出渐近自由场。该装置符合频率分离的渐近处方，该处方保证了自由Dirac场和Proca场的真空状态的唯一性和稳定性[5,43]。这意味着它不能像局部探测器那样在没有电磁相互作用的情况下记录粒子的产生[46,47]。
让我们评论一下与德西特几何中s矩阵的定义有关的问题。众所周知，在德西特几何中，唯一的类时杀伤向量并非处处都是类时的，这个问题引起了人们对正确定义能量算子、内外场和散射算子的可能性的关注[48,49,50]。这里我们认为S矩阵可以被定义，因为在观察者可以进行物理测量的光锥内，类时杀伤向量在任何地方都是类时的[8,51]。在这种方法中，能量算符可以被定义，但它不能与动量算符交换[8,43]。这里值得一提的另一个结果是在[52]中得到的，其中分析了全局de Sitter流形中弱耦合场理论的s矩阵形式。一个值得注意的结果是，从[52]中得到的s -矩阵可以在平面空间极限下从Minkowski空间恢复到通常的s -矩阵，这一结果在[8]中也有报道。
假设在德西特时空中矢量中性场与费米子场的相互作用理论可以通过引入相互作用项的最小耦合公式来发展，因为Z玻色子不带电荷，粒子与反粒子重合，并介导中性电流相互作用，由下式给出:
（13）
式中为电荷，为温伯格角，为中微子-反中微子场，为Z玻色子场，为电子-正电子场。由于众所周知，中微子只有左旋，我们使用左旋投射器，并说明电子和正电子也有右旋部分，相应的右旋投射器是。在本文中，我们只研究了Z玻色子与大质量费米子的相互作用，中性电流的第一项将不考虑在我们的研究中。在笛卡尔坐标系的共形图中发展了场相互作用理论。我们提到，在[28]中可以找到Z玻色子和中微子之间相互作用的详细分析，包括跃迁幅度的定义。
这种作用可以用给出Z玻色子和大质量费米子耦合的四分规范不变拉格朗日密度来表示，用点无关的狄拉克矩阵和四分场以及Proca场和狄拉克场的拉格朗日密度表示为:
（14）
可以展开为:
（15）
其中m是狄拉克场的质量是Z玻色子场的质量，是场强。该符号表示依赖于自旋连接的局部坐标系中的协变导数，这些微分是用群的自旋表示的基生成器给出的。场的欧拉-拉格朗日方程将给出大质量狄拉克场与Z玻色子相互作用的方程
(16) (17)
利用方程得到了相互作用方程。(16)、(17)、(15)。狄拉克方程会把势耦合起来
（18）
在德西特度规中，上述方程变为:
（19）
Proca方程将以中性电流为源，可读为:
(20)
我们指出洛伦兹条件是在自由普鲁卡理论的情况下推导出来的
（21）
它是为相互作用的场维护的。式(20)可根据势矢量和电流的时空分量展开:
(22) (23)
相互作用(22)、(19)中的场方程为耦合非线性方程，其解可按照平坦空间情况的方法表示。然后将耦合方程组替换为包含初始条件信息的积分方程组。这意味着选择一个格林函数G(x, y)对应于一个初始条件，这有助于我们写出相互作用方程的解如下:
（24）
其中是自由场，是Proca方程的格林函数。耦合狄拉克方程的解为:
（25）
其中是自由场，是狄拉克方程的格林函数。狄拉克场的格林函数满足式[8,43]:
（26）
其中狄拉克算符为:
（27）
在本节的最后，我们提到了关于狄拉克场在德西特时空中的传播子的重要结果。首先，Candelas和Reine[53]构造了构型表示的de Sitter时空上狄拉克场的传播子。Koskma和Prokopec在任意维的一般friedman - lema
- robertson - walker时空中以模态和的形式得到了相同的传播子[54]。cot
escu[55]给出了大质量狄拉克场的费曼传播子在动量空间中的一种新的积分表示。这些结果完善了德西特时空中狄拉克场的理论，提出了正则化的新方法，使人们能够研究这种几何结构中的二阶散射过程。
在本节中，我们建立了Z玻色子与大质量费米子相互作用理论的跃迁幅度的定义。相互作用场方程的解将用于构造来自输入/输出扇区的场的约简，然后通过使用摄动理论我们将定义电弱理论的一阶跃迁幅度。
考虑到横向模态只有解的空间部分()，相互作用方程可以改写为:
（28）
在这里，我们为横向模态引入Proca算子。
由于我们想要得到耦合场方程的解，我们必须使用Proca方程的Green函数[5,6]。在de Sitter背景下任意维的海量向量场的传播子在文献[6]中被构造。该传播子被证明是德西特不变量，并且具有正确的平坦时空和无质量极限[6]。为了用Proca方程的Green函数得到有用的方程，帮助我们验证Eq.(24)中提出的解是相互作用的Eq.(28)的精确解，我们使用关系式[5,6]:
（29）
取上式中指标的空间值，知道Green函数的时间部分正在消失，我们推导出如下方程:
（30）
Eq.(30)的解写成这样，通过使用Eq.(28)可以验证它是一个精确解:
（31）
哪里有这样的自由场。将Proca算子应用于上述方程得到:
（32）
这就完成了我们的证明。
为了构建相互作用的理论，我们寻找能够创建独立粒子状态的算子，每个粒子都随其物理质量传播。让我们开始使用(31)构造这些算子，它为我们提供了构造自由场的可能性，自由场与(28)的解渐近相等(at)。迟钝的Green函数在()处消失，而高级的函数在()处消失。进而Eq.(31)可以用弱智函数和先进函数表示为:
（33）
现在我们可以定义满足以下条件的自由场:
(34)
自由场和的质量和与耦合方程的精确解相等并表示相互作用前后的场。在闵可夫斯基中，自由场和被定义到一个归一化常数。这允许我们在迟钝和高级Green函数的帮助下定义in/out字段直到一个归一化常数:
(35)
现在可以利用域算子的展开来发展约简形式
(36)
根据上述归一化的观察，我们可以定义产生算子和湮灭算子
（37）
考虑两种状态和，则将从一种状态过渡到另一种状态的概率定义为两种状态的标量积:。这些是散射算符矩阵的元素，可以在实际应用中使用。散射算符保证了真空态和单粒子态的稳定性，并将任意外场转换为等效内场。
则Proca粒子从外态还原得到:
（38）
区别在哪里?
(39)
其中函数为总换向子函数，定义为:
(40)
计算是用积分法完成的
(41)
这能帮助我们写出Proca粒子从外态还原的最终结果吗
（42)
其中第一项被删除，因为它表示粒子在没有与其他粒子相互作用的情况下进行转移。Proca粒子从in状态的还原得到最终结果
(43)
则广义Green函数可以用自由场表示为:
(44)
散射算子在哪里
(45)
例如，如果我们考虑从德西特真空中自发发射三态Z玻色子和电子-正电子对的过程，则还原过程为:
(46)
方程中的格林函数可以通过考虑威克定理中所有的T收缩而用费曼传播子来表示。然后利用一阶微扰理论中带和空间指数的微扰，并在电影部分和动力部分之间作T收缩，得到Proca场横向模态的一阶微扰跃迁振幅的定义:
(47)
利用场算子对传播算子的作用，利用狄拉克函数的性质求解积分，得到最终结果
(48)
所有的一阶过程都可以用上面的公式来计算。上述过渡幅度的定义在图和图中都成立。此外，在极限情况下，振幅被简化为闵可夫斯基理论中众所周知的公式。
de Sitter时空中狄拉克场的约简形式在[8,56]中得到了发展，这里我们使用最终结果来替换我们振幅中的狄拉克场。
在纵向模态下，四个矢量位势的时间和空间分量根据方程组合成耦合方程。(22)，(23)和对于通过用时间和空间分量重写Proca算子来编写包含所有分量的方程是有用的。在这种情况下，Proca方程可以写成:
(49)
Proca场的Green函数满足式:
(50)
由此我们推导出以下关系:
(51) (52)
它结合了场的空间和时间成分。则可以看出(22)、(23)的相互作用方程可以合并为一个方程:
(53)
解用格林函数表示:
(54)
哪里有这样的自由场。可以通过应用Proca运算符来验证这是一个精确解
(55)
然后我们可以用延迟的和高级的格林函数来定义域，直到一个归一化常数表示为
(56)
由于我们只考虑了现场操作员的纵向分量，因此可以展开为:
(57)
约简形式可以通过考虑前一节中两种状态之间的转换来构建
(58)
产生和湮灭算符的定义用四个分量的量来表示。操作符之间的区别是:
(59) (60)
换向子函数用模态函数定义为
(61)
然后计算对易子函数的积分
(62)
我们得到了最终结果:
(63)
将Proca粒子从out状态还原的最终结果为:
(64)
并且可以用类似的方法得到in状态的缩减量。让我们考虑Z玻色子和电子-正电子从真空发射的相同过程的振幅，以及用简化程序写出的模式的相关振幅:
(65)
利用散射算子(45)展开的微扰理论中的一阶项，并进行所有可能的T收缩，我们得到:
(66)
过渡振幅的最终形式包含Proca场的空间和时间部分，并通过与Green函数(26)，(50)的关系获得。我们还注意到，在弯曲背景下，过渡幅度的定义与平面空间情况下的积分量相似:
(67)
上面定义的振幅是在德西特度规中发展微扰电弱相互作用的起点。这包括与早期宇宙中粒子产生有关的有趣现象。最后，我们必须指出，在这种情况下得到的振幅可以用一个公式来表示，该公式包含Proca场的时间部分和空间部分的贡献。
摘要
1 介绍
2 自由的领域
3.德西特时空中的中性电流相互作用
4 还原形式主义和过渡幅度
5 跃迁概率
6 过渡率
7 结论
数据可用性
参考文献
致谢
作者信息
附录
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在本节中，我们利用对应于或的Proca方程的解，计算了从德西特真空产生电子-正电子和Z玻色子过程的跃迁幅度。一个Z玻色子和一个电子-正电子对在德西特真空中自发产生的过程对应的一阶跃迁振幅为:
(68) (69)
这里是电荷，是温伯格角。我们规定，对于电子和正电子我们有左手部分和投影仪，也有右手部分和相应的右手投影仪。Z玻色子不带电荷，粒子与反粒子重合，并介导中性电流相互作用。
只有的模态空间分量不消失，故此例振幅为:
(70)
这个过程的振幅是用方程计算的。(4)(11)和时间积分中的变量变化，而空间积分给出了过程中的动量守恒，我们引入螺旋度的符号函数:
(71)
动量的狄拉克函数保证了这个过程中的动量守恒。通过使用附录中的Eq.(170)，我们得到了最终结果
(72)
其中函数定义为:
(73) (74)
B函数用Appel超几何函数和γ欧拉函数定义:
(75) (76) (77)
文献中对二重参数的Appel超几何函数的研究较少，但定义这些函数的二重无穷和在两个代数参数为亚酉时总是收敛的。在我们的例子中，这被转化为小于1的动量比，我们将在进一步的分析中使用这个观察结果。我们的振幅取决于费米子每膨胀因子的质量和Z玻色子每膨胀因子的质量这是给出空间膨胀振幅依赖的关键参数。从我们用Appel超几何函数给出的数学结果中，我们必须得到这些振幅的物理意义以及概率如何随展开参数变化。
图1
与的函数的概率，并分别具有相同的符号和相反的符号。虚线表示，实线表示
用振幅的平方模量和螺旋度后的和来定义真空中自发产生Z玻色子和电子-正电子对的概率。由于振幅与依赖于动量的狄拉克函数成正比，我们将以体积单位定义概率[28]:
(78) (79) (80)
为了进行正确的分析，我们将每个双参数的Appel超几何函数写成附录中由Eq.(171)给出的定义，并将其展开为无限和[44]。例如，from函数可以写成
图2
与的函数的概率，并分别具有相同的符号和相反的符号。虚线表示，实线表示
图3
作为for的函数的概率，忽略函数，与，和分别具有相同和相反的符号。虚线表示，实线表示
图4
作为for的函数的概率，忽略函数，与，和分别具有相同和相反的符号。虚线表示，实线表示
(81)
当动量比小于1时，上述级数对比值的固定值收敛。我们的数值计算证明了该级数收敛速度非常快，并在无穷远处保持常数值。为了进行完整的分析，我们将根据动量之间固定比率的参数绘制概率图，并且我们提到，在我们的图中，我们使用上述Appel函数的展开式，从0到无穷求和。因此，我们恢复了概率随膨胀参数的精确变化，如图1、2所示。
我们的图(图1、图2)证明，只有当质量与膨胀参数之比较小时，Z玻色子和电子-正电子对在真空中自发产生的概率才不消失，当质量与膨胀参数之比增大时，这种概率才消失。因为概率消失了，我们恢复了闵可夫斯基极限，在这个极限中，这个过程被能量守恒定律禁止为微扰过程[39,57,58]。
我们研究的另一个问题与在Eq.(78)中求解最终动量后的积分后得到的总概率的计算有关。定义概率的函数是用复杂的阿佩尔超几何函数来表示的，这些函数有动量的代数参数比，因此，找到一个近似可以用一个更合适的表达式来代替我们的函数B，使我们能够得到一个分析结果，这将是很有趣的。让我们分析一下结果的概率。首先，通过数值和图形分析证明，如果忽略Appel超几何函数的贡献，则以参数K, K表示的概率图是保留的。这可以通过分析和数值研究来验证，当参数K, K值较大时，概率图保持不变，而当参数K, K值较小时，概率图有很小的变化，但曲线轮廓保持如图3,4所示。在这种情况下，使用简化的B函数是有用的，它可以描述我们的振幅和概率在任何参数值方面的行为，如Eq.(73)中定义的函数:
(82) (83) (84) (85)
我们指出，我们提出上述简化函数是为了将来研究在一般情况下总概率的计算，这是一个依赖于参数的量。即使使用上面定义的简化函数，计算总概率也是一项复杂的任务，因为所得到的积分将包含虚幂动量，这导致积分没有很好地定义。因此，讨论膨胀参数远大于粒子质量的情况是有意义的。上面的B函数在膨胀参数远大于粒子质量的极限下变得非常简单这代表了大膨胀的极限这对于计算粒子的概率和密度很有趣。
图5
的实部和虚部作为与的函数。虚线表示虚部，实线表示实部
图6
函数的实部和虚部，和的平方模，作为带的函数。虚线表示虚部，实线表示实部
图7
的实部和虚部作为与的函数。虚线表示虚部，实线表示实部
图8
函数的实部和虚部，和的平方模，作为带的函数。虚线表示虚部，实线表示实部
让我们评论一下有关螺旋度的结果。在Z玻色子的螺旋度为的情况下，螺旋度在过程中是守恒的，而在其他组合中，螺旋度守恒定律被打破了。螺旋度不守恒是因为粒子有质量，就像闵可夫斯基理论一样。我们的图形结果证明，不保留螺旋度的过程有更高的发生概率，这些结果在右图中表示，并具有相反的符号。
在本节中，我们将接近我们的结果的幅度和概率的闵可夫斯基极限。这是膨胀参数消失时的极限，或者在我们的符号中，粒子质量与膨胀参数之间的比率变为无穷大，即。首先，定义振幅的函数可以近似于参数的大值。在所有的超几何Appel函数和欧拉函数中我们替换，另外我们用斯特林公式来近似欧拉函数对于大参数
(86)
对于较大的函数，这些函数的行为将主要由Appel函数前面的因素决定，我们得到:
(87) (88) (89)
从上面的方程可以观察到，在这个极限下，B函数以和乘以虚数次方的因子消失，而概率以和消失。
用上述近似函数的图解分析证明了实部和虚部在参数方面都是收敛的。我们指定，在我们的图中，我们取粒子质量与膨胀系数之间的比值大于1，并观察到对于亚酉值的行为保持不变。在闵可夫斯基极限下，振幅和概率正在消失，我们恢复了众所周知的事实，即在平坦时空中，由于能量动量守恒，真空中自发产生的粒子是不允许的(图5、6、7、8)。
这个极限很重要，因为在这种情况下引力场很大，这个极限对于早期宇宙的相关现象来说很有趣。在此极限下，这种情况的体积单位转换概率降为:
(90)
因为在极限中。总概率是通过对最终动量进行积分得到的。我们将考虑电子和正电子沿z轴方向发射的情况，但以相反的方式运动，动量矢量之间的夹角为。在这种特殊情况下，双量和被简化为一个数字，因为螺旋双量被简化为一个具有元素的简单列矩阵。Z玻色子的动量也考虑在第三轴上，这样。
在弯曲空间中四个动量的长度是恒定的，我们得到的结果是。那么在坐标变换时，动量的逆变分量，空间相中由空间和动量坐标决定的体积不变元为[59]:
(91)
这个体积的不变元被用来定义粒子分布函数[59]，我们提到它是由动量的逆变分量定义的体积元。同样重要的是，这个不变体积总是乘以一个依赖于坐标的函数，比如相对论玻尔兹曼方程[59]中的分布函数，所有的方程都可以用局部坐标系中定义的动量来表示。我们采用式(91)对体积元的定义，将式(90)的动量积分表示为物理动量，直至由狄拉克函数得出的与时间有关的一些因素和与守恒动量有关的因素，我们发现积分的形式为:
(92)
为了在总概率中获得正确的维数，我们将对动量空间中的体积元素实现一个类似的定义，但是用守恒动量来定义，这样我们将给动量空间中的每个体积元素添加一个因子。人们也可以认为因子实际上类似于状态函数的密度在闵可夫斯基理论中有一个维度。
则总概率定义为(90)中得到的概率的最终动量后的积分:
(93)
这将使我们得到总概率和跃迁率的正确维度。由于概率包含紫外线散度，我们将考虑超相对论动量的情况，即对于积分，这样，而对于电子动量，我们保留质量依赖性，即。为了得到总概率，需要计算的动量积分有:
(94)
我们使用粒子在相同方向上运动的设置。
利用附录中的式(173)，我们得到p积分的最终形式:
(95)
以上积分包含紫外对数散度。由于缺少四动量积分，上述积分的结构与闵可夫斯基场论中的不一样。为了得到积分的结果，我们应用了[60,61,62,63,64]中提出的维度正则化，它允许我们改变动量积分的度量，使积分中的维数D可以是任意复数。我们还指出，该方法被用于研究de Sitter时空中的传播子[6,54,65]。让我们回想一下在D维中p后的积分的众所周知的结果，以适应我们的情况:
(96)
D维角积分的结果在哪里
(97)
然后变量被改变这样我们就得到了新的积分
(98)
我们可以进一步利用-欧拉函数的积分[44,66]
(99)
在我们的例子中，它取for的值，最终结果为[60,61,62,67]:
(100)
首先要指出的是，如果我们考虑到电子-正电子对的动量很大，在Eq.(93)中我们取，并在上述所有方程中进行替换，则得到相同的结果。上述积分包含了的紫外散度和红外散度，这些散度包含在欧拉函数的极点中。一般来说，这些极点可以通过引入任意质量参数和任意耦合无量纲常数g来提取，这样我们的初始积分就被替换为:
(101)
在那里,
(102)
我们把积分(100)的结果写成g和的函数，以适应公式(95)中的积分。正则化积分得到:
(103)
的权力扩张
(104)
而欧拉函数可以写成:
(105)
最后的结果是用欧拉函数表示的我们把它限制为与成比例的项
(106)
得到的结果对于的任意小值是发散的，对于的任意小值是有限的，并且我们观察到维度正则化并不能消除积分中的所有发散。
为了解决总概率中的这种分歧，我们将使用[64,68]中提出的最小减法。让我们回想一下Eq.(100)中得到的结果，其中我们对发散的gamma函数使用了与gamma欧拉函数的关系:
(107)
我们将I(D)的结果重写为:
(108)
上面的函数有一个带余数的极点:
(109)
然后我们选择a逆项其中我们引入形式的质量参数，其中s被取为与I(D)具有相同维数的项。然后将重整积分定义为:
(110)
上式中的括号可以展开
（111）
发散项被周围的展开所抵消，重整积分的最终结果将是有限的:
(112)
在这里，我们指出括号中包含由式(106)得到的精确有限项。
将式(112)的结果汇总得到总概率，观察到后的求和包含在我们的结果中:
(113)
在第二个等式中，我们引入费米常数，也就是W玻色子的质量。利用维数正则化和减法证明了总概率是有限的。我们的积分包含发散的形式，可以用最小减法去除[64,68]。
逆项也可以投射到拉格朗日密度中，但我们限制为定义公式(113)中定义的正则化总概率。然而，在未来的工作中，我们希望研究所有的一阶过程，以获得所有的反项，从而提出一种基于维度正则化的重正化方案，在大展开时的极限。
在产生具有纵向极化的Z玻色子的情况下，跃迁的振幅包含了解的空间部分和振幅的时间部分:
(114)
定义的积分是:
(115) (116)
积分的求解方法与上一种情况相同，得到纵向模态的最终结果为:
图9
概率是与的函数，左图的符号相同右图的符号相反。虚线表示，实线表示
(117) (118)
其中函数定义为:
(119) (120) (121) (122)
图10
概率是与的函数，左图的符号相同右图的符号相反。虚线表示，实线表示
上述关系中的每个函数都是Appel超几何函数与gamma欧拉函数的组合，如下所示:
(124) (125) (126) (127) (128)
对螺旋度求和，计算体积单位内的跃迁概率，得到:
(129)
由式(129)得到的概率取决于粒子质量、膨胀参数和粒子动量，随膨胀参数的变化如图9、图10所示。
上述结果证明，在质量与膨胀参数之比较小的情况下，纵模的发射是可能的。概率也在闵可夫斯基极限中消失。为了清晰地描述质量和膨胀参数之间的比值，我们给出这个比值(其中m是电子质量)。由此我们观察到，对于相对于膨胀因子的大质量，目前产生对的概率为零，我们的结果是指膨胀参数更大或在粒子质量相同值附近的早期宇宙。
本文利用广义的弯曲时空的微扰跃迁幅度，分析了产生Z玻色子和大质量费米子的问题。我们利用电弱耦合和中性电流分析了大质量Z玻色子和大质量费米子在真空中自发产生的过程。分析结果和图解结果证明，大质量Z玻色子的产生是一个发生在整个暴胀过程中的过程。这一结果对于建立早期宇宙中产生大质量玻色子的机制非常重要。我们得到的一个显著结果是，在闵可夫斯基极限下，横向模态和纵向模态的概率都在消失，这一结果证实了电弱理论中已经建立的结果，其中这里分析的过程是被能量守恒所禁止的。在非平稳德西特度规中，只有当粒子的质量值接近膨胀参数时，这个过程才有可能发生。我们将在德西特几何中计算粒子质量与膨胀参数之比的任意值的跃迁速率。为了定义跃迁速率，我们在保形时的图表中工作，其中的定义可以从闵可夫斯基时空中改编[69]
(130)
这种情况下的过渡幅值方程可以写成
(131)
其中是时间积分，包含常数和双值。这些函数如下:
(132) (133)
时间积分可以写成这种形式，我们用
(134) (135)
则真空生成三重态的跃迁速率可以用上述量表示为:
(136)
我们认为从内到外状态的转变发生在足够长的时间之后，我们用来表示这个时间，并对这个时间的速率方程(136)的极限进行评估。为了计算极限，我们使用小参数的汉克尔函数展开，因为参数变得非常小
(137)
对于Z玻色子，我们使用近似当和汉克尔函数的指标为。在一般情况下，定义我们的转换速率的极限是:
(138)
从虚量中提取模量后得到极限的最终结果，即:
(139)
收集我们得到的关于转换速率的所有结果
(140)
在这里我们引入的符号是振幅方程(71)中得到的时间积分的结果:
(141)
并说明函数在Eq.(73)中定义(图11、12)。
图11
转换速率作为for的函数，with的函数，以及具有相同符号和相反符号的函数。虚线表示，实线表示
图12
转换速率作为for的函数，with的函数，以及具有相同符号和相反符号的函数。虚线表示，实线表示
用参数对式(140)进行图解分析，证明了Z玻色子和费米子-反费米子产生过程的速率仅在暴胀状态下是重要的，当膨胀参数变为零时，在闵可夫斯基极限下消失。用参数表示的速率行为再现了概率行为，证明规范Z玻色子的产生只有在早期宇宙的大膨胀条件下才有可能。
由于众所周知，大质量的Z和W玻色子只能在早期宇宙中作为稳定粒子存在，因此可以进行一些有趣的观察来扩展我们的结果。第一个与de Sitter情况[69]中的过渡率原则上可以计算有关，在这种情况下，定义振幅的函数可以变得更简单。例如，在这种情况下，幅度在极限中被简化为更简单的形式。定义振幅的函数可以用附录中的式(172)表示膨胀参数远大于粒子质量时的极限:
(142)
我们观察到这些更简单的函数是依赖于动量比的组合，并且提到为了在这个极限中近似Appel超几何函数，我们认为动量比小于1。在这个极限下，我们得到了动量的多项式表达式，使得这些函数在计算过渡速率时是可积的。然而，由于我们使用微扰方法，紫外散度将出现在我们的计算中。跃迁速率与粒子质量和膨胀参数之比的依赖关系将意味着非平凡的计算，因为我们将尝试从下面给出的总跃迁速率的定义来评估极限:
(143)
我们对最终粒子的动量积分。在一般情况下，不能进行计算，但在上面讨论的极限下，原则上可以得到转变速率，从而确定粒子的密度数。在接下来的内容中，我们将给出在大质量费米子和Z玻色子的发射情况下跃迁速率的计算。对于我们的计算，使用用Hankel函数表示的振幅将是方便的:
(144)
在极限情况下，时间积分是，
(145)
我们在哪里可以使用这个关系
(146)
时间积分的最终结果现在变成:
(147)
这样我们就得到了最终的过渡振幅在大膨胀的情况下，我们可以这样考虑，
(148)
我们规定，在一般情况下，我们计算的速率为，则从德西特真空发射的电子-正电子三重态和Z玻色子的跃迁速率为[69]:
(149)
我们表示
(150)
我们引入新的符号
(151)
这个符号代表公式(147)中给出的时间积分的结果，是时间积分的被积
(152)
第一步是通过使用关系来计算总和:
(153)
对。由式(149)给出的速率计算极限，得到:
(154)
值得注意的是，这是Eq.(139)的结果。综合以上结果，我们得到了跃迁速率
(155)
因为在这个极限下，对动量的依赖要简单得多，我们将通过对最终动量后的速率方程(155)进行积分来计算总转移率，我们采用与总概率相同的积分定义:
(156)
其中因子的设置与总概率的设置相同。
为了便于计算，我们选择第三轴上的电子动量和正电子动量，对于Z玻色子，是这样的。
由于电子-正电子对是在第三个轴上发射的，所以与双轴的总和很简单，并且总和被简化为一个数值因子。在这种特殊情况下，螺旋双轴是:
(157)
解积分得到:
(158)
对于解p积分，我们将采用量纲正则化[60,61,62,63,64,67]。这里的D维积分是
(159)
这种情况下的D维积分可以写成
(160)
并进行替换，我们就得到了欧拉函数的积分
(161)
如果引入无量纲常数，并将结果写成g和for的形式，则得到正则积分
(162)
我们进一步展开式(104)中as的幂项，并使用附录中的式(163)展开函数[67]:
(163)
正则化积分的最终结果由下列关系取极限得到:
(164)
可以看出积分是有限的。也可以尝试使用Pauli-Villars正则化[70]从概率和转移率求解发散积分，在这种情况下，需要添加反项以获得有限结果。的动量积分变成:
(165)
总比率的最终结果如下:
(166)
速率是有限的，可用于确定大膨胀条件下粒子的密度数。然后，在真空自发生成Z玻色子和电子-正电子对过程中得到的Z玻色子密度数与扰动计算的Z玻色子衰变速率之比成正比，这也是在de Sitter情况下必须计算的。因此，需要研究费米子-反费米子对中Z玻色子在德西特几何中的衰变速率，以考虑空间膨胀对衰变过程的影响。所有的扰动过程都对Z玻色子的密度数有贡献，包括玻色子可以被费米子发射的过程。在费米子发射Z的情况下，Z玻色子的密度数取决于费米子的密度数、发射速率和Z玻色子的衰变速率。
(167)
式中为费米子发射Z的速率，为费米子的密度数。
在本文中，我们不讨论与大质量玻色子质量起源有关的问题。然而，在早期宇宙中，Z玻色子的质量与希格斯场的期望值有关。在暴胀期间的电弱理论中，大质量玻色子质量可以由希格斯场的大凝聚体产生。在[65]中证明了所生成的矢量质量尺度为，而希格斯标量的矢量质量尺度保持微扰小，，其中g为规范耦合。
该结果应与使用其他方法获得的结果一起考虑[41]，其中作者考虑了非摄动方法。因此，为了清楚地了解早期宇宙中粒子产生问题所涉及的机制，我们必须考虑到[26,27]中讨论的两种方法。这是因为空间膨胀可能在微扰方法中扮演与热浴相似的角色，并且这两种效应可能在早期宇宙中相互竞争。
另一个与速率相关的观察是，概率的图形结果证明，在整个膨胀过程中存在大量玻色子产生的现象。这意味着原则上速率可以计算出粒子质量与哈勃参数之比的所有值。在目前的研究中，我们只局限于当的极限，这是由于我们遇到的数学问题。我们希望在未来的研究中探讨这个有趣的话题。
本文用微扰方法建立了Z玻色子与大质量费米子相互作用的理论，与平坦时空中的电弱相互作用理论类似。建立了大质量中性向量场与大质量费米子相互作用的方程，并利用格林函数给出了方程的解。这有助于我们在德西特几何中引入场并构建Proca场的约简形式。建立了微扰理论一阶跃迁振幅的定义，并指出我们在坐标中使用费曼规则，因为德西特几何中的Proca传播子需要进一步研究。
作为我们的形式理论的一个应用，研究了由德西特真空产生Z玻色子和电子-正电子三重态的问题。建立了横向模态和纵向模态的跃迁幅度，并以体积单位定义了跃迁概率。我们的分析和图解结果证明，粒子产生现象只有在与早期宇宙相对应的大膨胀因子下才有可能发生。在闵可夫斯基极限中，我们恢复了预期的结果，即由于能量动量守恒，粒子的产生过程不再可能。在膨胀系数较大的情况下，我们计算了总的概率和速率，并采用量纲正则化方法计算动量积分。通过最小减法，我们成功地从我们的总概率中去除了散度，证明了我们在这里构建的理论是可逆的。计算了大膨胀条件下的跃迁速率，并确定了Z玻色子的密度数为产生速率与衰变速率之比。
为了进一步的研究，考虑到所有可能产生Z玻色子的过程，包括电子和正电子发射Z玻色子的过程，将是有意义的。在弯曲背景下的电弱相互作用研究较少，我们希望我们的结果将鼓励其他人在弯曲时空中研究Proca场和传播子。这可以帮助我们理解与早期宇宙中产生大质量玻色子的机制有关的问题。
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