现实生活现象的数学建模是一项复杂的活动，它通常需要复杂形式的协变推理，例如二阶协变。本研究旨在描述学生在模拟现实生活现象时如何使用几种形式的协变推理。为了实现这一研究目标，本文提出对某高二课堂的教学实验进行分析，重点对温度、绝对湿度和相对湿度三个量之间的关系进行数学建模，并用干湿图进行数学表示。定性分析主要集中在协变推理和学生对所调查的现实生活现象的数学建模过程上。五个代表性事件的研究结果显示了几种形式的协变推理的交错，协变推理的定性、定量和全局特征的出现，以及在建模活动的各个步骤中协变的三种不同作用。从教育的角度来看，这里描述的建模活动为旨在通过协变方法促进现实生活现象建模的活动设计提供了实际的见解。
在数学教育中，数学建模能力的目的是作为一个镜头到现实世界(Niss和H?jgaard 2019)。PISA框架明确指出，“[b]对变化和关系有更多的了解，包括理解变化的基本类型，并认识到它们何时发生，以便使用合适的数学模型来描述和预测变化”(OECD-PISA 2022，第24页)。最近的研究涉及了协变推理，即设想变量如何相互串联变化(Thompson and Carlson 2017)，如何支持对科学现象的概念性理解的发展(Gonzalez 2019;Panorkou and Germia 2021;Rodriguez et al. 2019)。即使在PISA框架中没有明确提到协变推理，它似乎也是数学推理的合适形式，可以“用适当的函数和方程来模拟变化和关系，以及在关系的符号和图形表示之间创建、解释和翻译”(OECD-PISA 2022，第24页)。
许多研究已经调查了几种数字工具的潜力，以支持协变推理，如动态几何环境(Ellis et al. 2016;Hegedus和Otálora 2023;Johnson et al. 2017)和增强现实技术(Levy et al. 2020;Swidan et al. 2019)。这样的环境可能支持数学建模任务中涉及的动态方面的概念化，使人们能够探索真实现象的连续动态特征，在一些学习环境中，也可以通过将这些特征与现象的数学表示结合起来。
然而，现实生活现象的数学建模是一项复杂的活动:“自然和设计的世界显示了物体和环境之间的大量临时和永久关系，其中变化发生在相互关联的物体系统内或元素相互影响的环境中”(OECD-PISA 2022，第24页)。因此，对这种现实生活中的情况进行推理可能需要比协变推理框架中描述的更苛刻的认知努力。一方面，这样的现实生活背景通常包括两个以上的数量:例如，Panorkou和Germia(2021)分析了地球引力的情况，在这种情况下，一些研究人员采用了术语“多变异”，这是一个扩展的框架，其概念和经验验证正在进行中(Jones 2022)。另一方面，其他研究人员观察到，在对现实生活现象进行数学建模的过程中，考虑特征量如何影响现象本身的行为可能也很重要。Arzarello(2019)开始将这种结构称为二阶共变，最近它被定义为设想一系列不变关系及其特征参数同时变化的能力(Bagossi 2022)。所选择的术语与Bloedy-Vinner(2001)所使用的术语一致，他称之为“二阶函数”，即输入是参数，输出是相应的参数方程或函数的函数。参考前面提到的引力，如果我们把m2看作是固定的，二阶协变推理的一个例子是考虑两个质量之间的距离d如何影响引力-质量关系。在现实生活现象的建模中，已经在文献中发起了一系列研究，并讨论了一些初步结果(Bagossi 2021, 2022)。
支持二阶共变的数字学习环境的设计原则直到最近才在一些研究中得到探索。例如，Hoffkamp(2011)分析了用交互式几何软件创建的一些小程序的设计特征，促使她称之为元变异，这是一种变异形式，导致对功能依赖的定性和全局视图。这样的任务设计允许以不同的表示方式同时可视化功能依赖关系的动态方面。相反，Bagossi和Swidan(已被接受)使用GeoGebra和增强现实研究了沿斜面滚动的球的运动概念化中的二阶共变学习。在这两种学习环境中，学生共同改变了平面的倾斜角和距离-时间图，并对其进行了定性描述，明确了量和图的变化方向。
本研究的目的是描述学生在参与现实生活现象的建模活动时如何使用几种形式的数学推理，一阶和二阶协变推理以及多变量推理，以及这些形式的数学推理如何与概念化过程相互交织并支持。为了实现这一目标，我们定性分析了一个关于温度、绝对湿度和相对湿度这三个量之间关系概念化的教学实验数据，这可能会让学习者理解冷凝和蒸发等现象。本研究有助于研究数学建模活动中协变推理的相关性的文献，更深入地关注所涉及的协变形式和建模过程的性质。事实上，研究结果强调了协变推理在建模过程中的各种特征和三种不同的作用;在教学实验的各个步骤中，真实的和数学的表示，特别是那些由数字工具支持的，所扮演的角色也是讨论的一个元素。此外，这里描述的活动可以为旨在通过协变方法促进现实生活现象建模的教育活动的设计提供有用的见解。
在数学教育中，建模的目的是“在现实世界和数学之间双向转换的过程”(Blum和Ferri 2009，第45页)。数学模型代表了现实生活或科学现象的理想概念化;它们是用数学语言表述的，并利用了各种数学工具和结果(Niss和H?jgaard 2019)。因此，考虑到起作用的因素的多样性，数学建模是一项复杂的活动。正如定义本身所包含的那样，建模周期主要由交互组成(图1)。从现实世界到数学世界的连接可以通过两个主要过程来描述:数学化和应用(Yoon et al. 2010)。数学就是用数学的方法来解释一个真实的情境;它描述了一个从现实世界到数学世界的过程。相反，应用包括使用数学知识来创建数学模型，因此有机会体验数学可以是实际的。当然，从数学世界到现实世界也有一个过程，使人们能够在现实世界中解释数学结果:在本研究中，我们将这个过程称为解释。
图1
建模周期的简化版本
建模过程必须以去除噪声为特征，这意味着清除所有可能使从真实情况转移到数学模型具有挑战性的干扰因素。因此，数学模型可以被认为是一种概念化，是对所分析现象的近似或有意的简化。研究表明，数字工具可以作为现实世界和数学之间的桥梁(Galbraith and Stillman 2006)。数字工具不应仅仅作为完成计算任务的手段，它们还可以实现多种目的，如查找信息、制定方程或可视化解决方案(Kaiser和Schukajlow 2022)。事实上，数字资源可以提供现象本身的不同表现形式，这可以引入新的学习机会(Doerr和Pratt 2008)。
此外，一些研究讨论了动态几何软件或图形计算器等技术工具的潜力，以可视化数量的同时变化(Arzarello 2019;Ellis et al. 2016;Hoffkamp 2011;约翰逊2013;Swidan et al. 2022)。它们可以“为学生提供直接和动态操作数量的机会，并提示他们探索协调和平滑的变化”(Panorkou和Germia 2021, p. 323)。事实上，概念化一个数学情况需要详细说明哪些量是变化的，它们如何与其他量同时变化，即它们如何共变，以及所涉及的量如何影响情况本身。因此，各种形式的协变推理可以出现在这些建模活动中，它们应该适当地框架。
在本研究中，我们将采用Arzarello(2019)初步介绍并由Bagossi(2022)进一步阐述的协变推理的扩大视角。协变推理应该被视为一种具有更大认识论和认知价值的数学推理形式，这意味着能够适当地设想两个数学对象之间的关系。该框架规定了特定数学对象所隐含的各种共变顺序的存在，以及它们的相互关系和描述一个人的协变推理能力的水平(Thompson和Carlson 2017)。下面，我们将详细介绍一阶和二阶协变和多变。
协变推理被定义为设想两个量的值如何同时变化的能力(Carlson et al. 2002)。汤普森和卡尔森(2017)在详细阐述了之前和充分巩固的研究结果后，提出了五个认知水平的分类，这些分类应该作为一个人进行协变推理能力的描述性水平。这些级别可简要概括如下:值的预协调是指设想两个量同时变化，总体协调是设想两个量的变化方向表现为增减关系，值的协调是指在两个量的值之间建立关系，块状连续共变是指设想数值在离散块中变化，最终，平滑连续共变是指两个量连续同时变化。正如级别的标签所传达的那样，只有在这个框架的最后两个级别，学生才真正展示了协变推理的形式。一阶协变推理植根于定量推理(Thompson 2011)，实证研究结果支持它与许多数学概念的相关性，如函数、比例、变化率和极限(Thompson et al. 2017)。此外，协变在数学建模活动中至关重要，因为“组成协变推理的操作正是使人们能够看到动态情况下数量之间不变关系的操作”(Thompson 2011, p. 46)，因此它揭示了进入数学建模过程步骤的必要性。为了将两个量之间的这种形式的协变推理与其他协变结构区分开来，在这个扩大的框架中，它被称为一阶协变(COV 1)。
最近的一个理论结构是二阶协变推理(COV 2)，它被定义为设想一系列不变关系及其特征参数同时变化的能力(Arzarello 2019;Bagossi 2022)。文献中只有一些关于冠状病毒2特征的发现。来自高中生学习实验的数据揭示了冠状病毒2的定性和定量形式(Bagossi 2021, 2022)。此外，Swidan及其同事(2022)发现，在学生的推理中存在从COV 1到COV 2的过渡阶段，其中参数的概念也以直观的方式出现，引入了运动的概念。此外，从冠状病毒1开始的冠状病毒2的概念化也在范畴论的框架内进行了表征，通过范畴工具解释了各种认识步骤(接受Asenova等人)。考虑到二阶协变推理的特点和这些初步结果，二阶协变推理似乎与现实生活中各种现象、参数函数和参数方程的概念化有关。
最后，Jones(2022)详细阐述了多变量的结构，以更好地构建涉及两个以上数量的数学推理形式。Jones进行了概念分析，描述了不同的理论多变结构，然后调查了学生在多变推理中的心理行为，表明他们与协变推理有关，而且学生还使用了新的心理行为。我们不会深入Jones(2022)提出的丰富发现的细节，因为它们超出了本文的目的。但最后，我们注意到，研究多变量的重要性是由几个数学和科学背景所激发的，这些背景包括两个以上相互关联的变量:仅举一些例子，物理定律，分数，三角关系，函数组成，积分函数，多变量函数，参数方程和微分方程。
考虑到协变推理对数学建模的重要性，本研究旨在探索新出现的协变推理形式(不仅是COV 1)与数学建模活动中涉及的各种过程之间的联系。因此，指导本研究的研究问题可以表述为:学生在从事现实现象建模活动时如何进行协变推理?
本研究所研究的实际现象是温度、绝对湿度、单位体积空气中所含的水蒸气量和相对湿度之间的关系。我们简单回顾一下，空气中不可能含有无限量的水蒸气;一旦达到可能的最大量，它就会饱和。然而，饱和极限随温度的变化而变化:温度越高，在给定体积的空气中可以包含的蒸汽越多。
相对湿度就是在给定温度下绝对湿度与其饱和极限之间的比率，用百分比表示。例如，在20℃的温度下，1千克空气最多可含有14.7克水蒸气;因此，在20℃的温度下，由1kg干燥空气和14.7 g水蒸气组成的混合物的相对湿度为100%。在相同的温度下，如果在1千克干燥空气中有7.35克水蒸气(即在该温度下最大可能量的一半)，则混合物的相对湿度为50%。凝结的热力学条件称为露点。
前面介绍的三个量之间的关系用数学方法表示在一个称为干湿图或载波图的图表中，这是一个恒定压力下湿空气热力学参数的图表，通常在海平面上记录(图2)。该图表可能包含许多热力学参数，但在下面，我们将只关注三个主要量:温度(横坐标)，绝对湿度(纵坐标)和相对湿度(参数)。温度和绝对湿度之间的数学关系由指数函数给出，图2中所示的每条绿色曲线对应于相对湿度百分比的不同值。
图2
一个干湿图的例子
可从:https:// www.edilportale.com/speciali/Climatizzazione/ARIA_UMIDA_01.asp?v=cl。
摘要
1 介绍
2 理论f
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3.方法
4 结果
5 讨论
6 结论
数据可用性
笔记
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这里描述的教学实验(Steffe and Thompson 2000)是调查高中生协变推理的更广泛研究项目的一部分。本教学实验于2020-2021学年初在意大利一所理科高中的11年级班级以混合式教学方式进行。如前所述，活动的重点是将绝对湿度、相对湿度和湿度图中描述的温度之间的关系概念化。
阅读和解释湿度计图需要几种形式的协变推理来理解所涉及的三个量之间的相互关系:一阶推理意味着能够想象绝对湿度和温度是如何共变的，二阶推理意味着能够详细说明相对湿度，即特征参数，是如何影响指数曲线族的，而多变量这三个量可以想象它们的同时变化。整个教学实验有三个主要目的:调查湿度和温度之间的关系，阅读和解释湿度计图表以解释现实生活中的现象，如凝结，以及区分变量和参数在阅读图表中的作用。
涉及的11年级教室由22名学生组成。由于先前的数学学习，学生掌握了基于有限差分的函数识别;学生们习惯于使用数字工具，特别是GeoGebra小程序。本次教学实验时，学生还没有学习过指数函数;经过教学实验，该系统正式推出。在上一学年，学生们已经学习了调查温度和湿度之间关系所需的科学概念，但在教学实验的设计阶段，对这些概念的总体回顾被计划为活动的一个组成部分。此外，值得一提的是，在上一学年，学生们进行了一项关于球沿斜面滚动运动规律概念化的教学实验(Bagossi 2021)，以提高他们对函数处理和协变推理的掌握程度。即使在这个活动中，学生们也使用了几种表征，最后，他们在物理实验室进行了真正的实验。
这次教学实验是在新冠肺炎疫情期间进行的，因此采用了部分现场和部分在线的混合模式，通过Google Meet平台进行。教学实验包括六个主要阶段，在此期间，工作组会议之后是课堂讨论。在每个阶段建议的活动将在下面详细描述。
作为家庭作业，学生们被要求阅读一篇关于夏季高温话题的报纸文章。阅读结束后，学生们被问及是否听说过相对湿度和感知温度，并在数学课程的谷歌课堂平台上写下他们的答案。活动结束后，老师对学生提供的答案进行了现场讨论:学生们对这些术语的定义进行了反思，并提到了一些具体的例子(如:罐头上的凝结，淋浴后镜子上的蒸汽，人体的出汗系统)。之后，老师在互动白板上展示了一个GeoGebra文件(图3)，其中一个表格包含了在晴天定期收集的温度和相对湿度值。笛卡尔平面上的两个图表示了关于时间的相同数据集。老师解释了数据是如何收集和表示的;特别是，由于x轴和y轴上表示的幅度具有不同的度量单位，因此引入了一些适当的平移和扩展，以使它们更具可读性和可比性。在这一阶段的最后，学生们的作业是阐述温度和相对湿度之间可能存在的关系。学生们在课堂平台上上传了他们的答案。
图3
GeoGebra小程序界面显示采集到的温度随时间变化的数值(红色曲线)和相对湿度随时间变化的数值(蓝色曲线)(在线彩色图)
老师主持了一场课堂讨论，对学生们在第一阶段结束时布置的家庭作业的回答进行了评论。讨论结束后，老师和学生做了一个实验(图4a):给学生一个装满水的金属锅，在室温下，他们逐渐加入一些冰块;他们定期在黑板上记录经过的时间和锅中温度的下降(图4b)。当罐的外表面开始起雾时，他们记录下与露点相对应的温度，即冷凝的热力学条件。然后，学生们在自己的家庭作业活动中重复了这个实验。
图4
a盆栽试验重现;b在盆栽实验中记录数据并写在黑板上
学生们在Google Meet上参加了一个一小时的工作组会议，分成五组。他们制作了一张工作表，从盆栽实验中收集的数据开始，要求初始室温和露点温度之间可能存在的关系。然后引导学生阅读练习册上报告的真实干湿图表(图2)。随后，使用GeoGebra小程序再现图表(图5)，学生们被要求找到几条绿色曲线(对应于不同的相对湿度百分比)与水平线y=yDEW点之间的交点的坐标。GeoGebra小程序包含两个滑块(图5左上角)，一个与相对湿度相关，使其能够在绿色曲线之间移动，另一个与温度值相关。最后，学生们再次被问及温度和湿度之间可能存在的关系。这项任务之后是由老师带领的一个小时的现场讨论，在此期间，学生们在干湿图上回顾了盆栽实验的步骤。
图5
GeoGebra小程序模拟风湿图
学生们被布置了以下任务作为家庭作业:“你认为相对湿度值作为温度函数的曲线图的趋势是什么?”试着描画(徒手或用GeoGebra，你选择)一个可能的图表来充分证明你的选择。”学生们将自己的作品上传至课堂平台。然后，老师花了半个小时进行现场课堂讨论，在讨论中，她对学生的回答进行了评论:她在互动白板上展示了学生们提供的各种答案，特别是画图表的不同方法，并要求他们激励自己的选择。
学生们分成小组，在一个新的GeoGebra小程序上工作(图6)，显示相对湿度(y轴)和温度(x轴)之间的关系。几个问题引导学生观察新参照系(图6)与旧参照系(图5)中哪些量被表示出来。然后给学生一张工作表，上面有一个表格，回顾罐子实验的每个步骤，哪些量变化以及如何变化，以及实验的每个步骤如何在Carrier图上表示。结果是图表上的一个周期。最后，工作组被要求在新的参考系统中重复同样的循环。在这个阶段的最后，小组把他们的工作表交给老师。
图6
GeoGebra小程序的界面显示相对湿度和温度之间的关系
这个阶段包括一个小时的课堂讨论，在此期间，老师首先讨论学生对上一个任务的回答，然后引导学生注意两个GeoGebra小程序(图5、6)中包含的两个图形表示，从两个不同的数学角度描述了相同的物理情况。最后，老师在互动白板上展示了一个新的GeoGebra小程序(图7)，其中两种表示并列显示。
图7
GeoGebra小程序的界面同时并排显示两个图
所有的活动都是通过Meet平台提供的录音功能进行记录的，老师自己也在教室里放置了一些设备来记录课堂活动。学生们制作的所有书面文件都被收集并分享到谷歌课堂平台上。
研究人员观看了所有活动的视频，并阅读了学生们的书面协议，以便找出揭示共同变异形式的片段。然后将这些片段转录，翻译成英语，并进行三层次分析:在第一级，通过描述所涉及的数学对象和提示协变推理的表征的具体特征，根据扩大的协变理论框架对协变推理的出现顺序和水平进行分类。在第二个层次上，通过确定数学、应用和解释的过程来分析相同的情节。例如，当学生详细阐述一种现象的数学表示，这种现象可以用不同的寄存器(图形的、符号的或口头的)来表达时，它被编码为数学。当学生们利用他们的数学知识来阐述模型(众所周知的函数类型，它们的性质，图形的阅读和解释，或数字工具的使用)时，它被编码为应用。学生根据现象本身解释数学模型的能力被编码为解释数学结果。最后，在第三层次的分析中，通过关注各种形式的协变推理及其在建模活动中的相关性，对情节进行了全面的解释，这是本研究的主要理论贡献。
在本节中，我们将对五个具有代表性的章节进行分析:第一章节是学生对第一阶段所执行任务的书面协议的选择，第二章节是第三阶段集体讨论的节选，第三章节来自第四阶段的讨论，另外两个章节来自第六阶段的讨论。每一集的台词都按顺序编号。教师用T表示，学生用Si表示(例如S1=Student 1)。
表1选择学生对任务1的回答
18名学生(超过22岁)在课堂平台上上传了他们对第一阶段结束时执行的任务的回答:他们被要求描述温度和相对湿度之间的关系，如图3所示。所有的学生都回答说温度和相对湿度之间存在联系或关系，即使他们中的一些人指出这种关系“根据不同的因素而变化”[1 - S11]，或者再次指出它们“并不完全相互联系，因为即使在不同的温度下湿度也是相等的”[2 - S4]。表1收集了一些有代表性的学生的回答。我们可以看到，尽管GeoGebra文件提供了数值，但只有在[5]中我们看到了对数值的明确引用，而学生主要是用增加/增长/减少的表达式来描述两个量的变化方向，从定性上阐述了温度-相对湿度的关系[3-4-6-9]，因此这些形式的协变推理被归类为COV 1 -值的总协调。只有少数学生试图用反比例关系[6]或使用通俗的语言来描述这种关系，即两个图“似乎几乎是镜像的”[7]。最终，一些学生用物理解释来推动这种关系。事实上，它们指的是水蒸气蒸发的过程，“当天气变暖时，水往往蒸发得更多，因此空气会变得更干燥”[8]或“当温度升高时，水蒸气颗粒会减少”[9]。
3 - 7题的答案主要揭示了一种数学方法，这意味着学生们努力用数学方法描述GeoGebra中提供的蓝色和红色图表的趋势。相反，答案8和9显示了一种解释方法:学生试图根据蒸发的物理现象来解释这两个图表的趋势。
本节节选自第三阶段工作小组会议结束后，老师带领的课堂讨论。在老师的指导下，学生们在GeoGebra中重现的湿度计图上追溯了盆栽实验的步骤，并显示在交互式白板上(图5)。这个GeoGebra小程序提供了通过移动适当的滑块来可视化整个指数函数系列的可能性(图8)。在这里报道的文字记录中，学生们正在详细说明他们已经达到露点的步骤，即湿度为100%。但他们继续降低温度，在锅中加入更多的冰，并保持相对湿度的百分比不变。盆栽实验的步骤如图8所示，学生所阐述的特征为斜向特征。
图8
盆栽试验的步骤在干湿图上。箭头是为了方便读者而画的
10.
T:然后呢?饱和度达到100%后我们做了什么?我们立即停止了吗?[…]
11.
S2:不，我们一直等到它凝结得很好，同时，我们继续加冰。
12.
T:那么，你做了什么?
13.
S2:我继续降低温度。
14.
T:那么在图上，你会移动到哪里?
15.
S2:在左边。
16.
T:在左边。水平?
17.
S2:不……(不太相信)。如果你到达露点，是的，只有温度变化。
[…]
18.
如果我们已经有了露点，那么(绝对)湿度正在下降。
19.
T:如果已经有露点，湿度就在下降。所以呢?
20.
它趋向于x轴。
21.
T:不仅温度下降，而且它趋向于y轴，也趋向于x轴。我们在这张图上怎么移动?
22.
跟着曲线走。
在这次讨论中，学生们已经看到了一个图形表示，展示了相对湿度如何影响函数族的趋势。整个情节“以图形表示和实验之间的位移游戏为中心，教师不断询问学生如何在图形上移动，邀请他们与GeoGebra applet的实验联系起来”(Bagossi 2022, p. 4232)。具体来说，学生们详细阐述了三个重要的量，温度，绝对湿度和相对湿度，在干湿图上移动时的行为，这可以归类为一个数学过程:首先，学生们详细阐述了在盆栽实验的各个步骤中，数量是如何变化的，然后他们成功地将三个量之间的多重变化与图表上的运动联系起来。特别是这一集，在相对湿度恒定的情况下，由于露点已经达到[18]，温度下降[13]和绝对湿度下降[18]，对应的是“向左”[15]和“顺曲线”[22]的运动。这一情节被编码为揭示了三个数量之间的多重变化，通过明确三个数量的变化方向，以定性的形式表达出来。
在第四阶段，学生们被要求画出相对湿度相对于温度的趋势图作为作业。在课堂讨论中，老师对学生的作品进行了评价。特别是在这一集，老师在互动白板上展示了S21阐述的解决方案(图9a)，并让他解释他是如何找到的。之所以选择这一集，是因为S21是唯一一个不仅画出图形，而且还寻找可能的代数表达式的学生。
23.
T:你做了什么?
24.
学生21:首先，我试着寻找一个函数，我定位了所有的点，然后通过一个系统，我试着寻找一个经过所有点的函数，但它来的有点高或有点低。然后我试着玩滑块和…[听不清]。
25.
T:你想到了什么样的功能?
26.
学生21:我以为相对湿度是一个数字a / b乘以温度加c…[…]但结果不好…[老师在交互式白板上写下公式，图9b]。
27.
T:从什么意义上说没有什么好?
28.
函数没有触及所有的点....
29.
T:函数没有触及所有的点....
[…]
30.
T:那么，我们能得出什么结论呢?
31.
S21(不清楚):
32.
T:不是那个函数或者数据不完全符合这个函数，而是这个函数可能不是夸张的....
第四阶段旨在促进应用过程:要求学生从盆栽实验中收集的数据出发，分别以自变量和因变量的形式构建温度与相对湿度关系步骤的图形表示。S21解释说，为了识别交互白板上显示的函数(图9a)， S21在笛卡尔平面上(使用GeoGebra)找到了所有的点[对应于盆栽实验中得到的数值]，然后他试图寻找一个函数通过所有的点，但该函数“来的有点高或有点低”[24]。S21还补充说，当时他试图玩滑块，与S21在其分析表示中引入的参数相关联，但他的句子的最后一部分是不可理解的[24]。在回答老师的问题[25]时，S21解释说，他想到了一个以相对湿度为因变量，温度为自变量的公式，该公式包含三个参数，分别用字母a、b、c命名[26](图9b)。
图9
S21提出的暂定相对湿度-温度图;b老师在互动白板上写的公式
在S21的声明中，我们可以检测到一种二阶共变形式，它被浓缩在包含一些非良好识别参数的数学公式的阐述中。这种参数公式的阐述揭示了S21对数量值不断变化的理解的心理形象，随着温度的升高，相对湿度降低，反之亦然，通过改变参数，这种关系的趋势发生了变化:因此，我们将这一事件编码为定量COV 2的一种形式。
综上所述，正如S21自己所认识到的，他所阐述的功能是不正确的[28]。对于这种结果，老师提出了两种可能性来澄清问题:数据不精确，不完全适合函数，或者所寻求的函数不是夸张的[32]。事实上，在教学实验的时候，学生们还没有学习过指数函数。
第6阶段的讨论最初集中于在新图表上重建盆栽实验的周期，该图表描述了y轴上的绝对湿度和x轴上的温度之间的关系。老师在互动白板上展示了学生们作为作业制作的一张图表(图10)。在这一集里，他们集体评论了实验的第二步(用P1左边的黄色特征来表示)，在这个过程中，学生们继续加入冰块来降低锅里的温度，然后在锅的外壁上形成了一些水滴。
图10
一个学生做的相对湿度-温度曲线图
33.
T:在(图表的)横向特征上发生了什么?
34.
相对湿度保持恒定。
35.
T:相对湿度保持恒定。
36.
温度降低了。
37.
T:温度下降了。绝对湿度?它是减少还是保持不变?
38.
S19:减少。
39.
T:减少。为什么?
40.
你有凝结。
41.
T:好的，你有冷凝，这是实际发生的情况。但在图上为什么呢?[…]
42.
曲线是变化的。
在这一集里，学生们结合盆栽实验来解释新参照系中的表征。在这个新的表示中，没有在两个轴上表示的是绝对湿度，它成为了新的参数。最初，学生对“相对湿度保持恒定”[34]、“温度下降”[36]、绝对湿度“下降”[38]这三个量的变化和变化方向进行了概念化。这个推理被编码为三个量之间的多变量，以一种定性的形式表达，类似于在第二章中确定的。然后，S19阐述了另一种形式的推理:在老师的刺激下，S19声称绝对湿度的降低[38]与曲线的变化有关[42]，类似于前面的干湿图(图8)中的指数曲线。这种推理形式可以归类为一个量(绝对湿度)和一组函数(相对湿度-温度曲线)之间的协变。所涉及的物体的变化方向被勾勒出来:确实，相对湿度(参数)是在减小的，而曲线的变化(如图10所示的图形表示)是从一个物体穿过P1到另一个物体。综上所述，这种推理形式被编码为COV 2的定性形式，其中明确了两个对象的变化方向。
最后一段视频还是来自第六阶段的课堂讨论，但在接近尾声的时候:在介绍了新的GeoGebra applet(如图7所示)之后，老师引导学生思考两种干湿图之间的异同。
43.
T:这是两种不同的情况吗?
44.
S21:没有。
45.
T:没有。如果这两个图不是两个不同的情况，为什么它们是不同的?
46.
在y轴上表示的值不同。
47.
T: y轴上表示的值是不同的。如果你要与现实生活中与数学无关的事物进行比较，我们有相同的情况/场景，但y轴上表示的值不同，如果你要做类比……?
48.
S2:从物理的角度来看，它们代表的是一样的东西，但从图形的角度来看，它们是两个不同的值。
49.
T:哦!从物理的角度来看，它们表示相同的东西，但从图形的角度来看不是，因为它们是两个不同的值。两种不同的情况取决于什么?
50.
不同的观点。
讨论到这里，老师在交互式白板上投影了新的applet，同时显示绝对湿度与温度的关系和相对湿度与温度的关系(图7)。当老师问图表是否是两种不同的情况或场景时[43]，首先S21观察到“y轴上表示的值不同”[46]，然后S2声称从物理角度来看情况是一样的:不同的是图形表示[48]。S21总结说，两种情况之间的差异取决于“不同的观点”[50]。这两种数学表示的解释过程表明，变量和参数所承担的不同作用并不决定不同的物理情况，而是立场的改变导致不同的图形表示。本集中出现的方法也可以作为数学表示中变量和参数的不同角色的概念化形式。这两个干湿图显示了COV 2的一种形式:实际上，所涉及的数学对象是两个函数族，由相同的三个量产生，都代表相同的现象。学生们成功地在全局上解释和联系了两个函数族:因此，这种形式的推理被编码为COV 2全局。
表2总结了先前提出的五个章节的定性分析，以便更明显地说明学生在建模过程中出现的协变推理形式，特别注意每个章节中涉及的真实和数学表示。
表2 5期调查结果汇总关于所涉及的表示，建模过程的步骤和出现的协变推理部分
指导本研究的研究问题是:学生在从事现实现象建模活动时如何进行协变推理?为了阐述答案，我们定性地分析了一个教学实验中的五集课堂活动，该实验的目的是概念化温度、绝对湿度和相对湿度这三个量之间的关系。
首先，表2中总结的结果表明，这种现实生活现象的建模需要从真实世界到数学世界的连续来回移动(Blum和Ferri 2009):如果从真实世界到数学世界的运动在前几集占主导地位，那么在最后阶段，另一个方向的运动占主导地位。这些过程是由任务本身的设计推动的，但学生们根据自己的背景知识(数学和科学)将它们具体化并加以塑造。在学生的学习过程中，一个有趣的成就是意识到现实世界和数学世界之间的联系并不是唯一的:事实上，正如第5集所示，可以采用几种数学表示来描述相同的现象。
所有的建模过程都不断地穿插着各种形式的协变推理，而不仅仅是一阶的，而且这种推理在整个教学实验中所起的作用是不同的。在第1集，协变推理成为学生数学过程的切入点，使他们能够阅读和描述图2中两个量的值同时变化的图形;在第2集和第4集，协变推理被用来调解盆栽实验的步骤和它们在干湿图上作为运动的表现;最终在第3集和第6集，量之间的协变推理作为一个跳板，使用图形表示该现象的函数或函数族的创建和解释成为可能。此外，协变推理在所有三种建模过程中都被发现，数学，应用和解释，因此它似乎与整个过程相关，而不仅仅是在某些特定阶段。
检测到的协变推理形式的多样性比一阶推理要复杂得多，这证实了研究假设，即模拟现实生活现象需要几种形式的数学推理。当数学化或解释湿度计图表上盆栽实验的周期时，学生们使用多元推理来概念化这三个量是如何同时变化的(第2集和第4集)。然后，转向相对湿度-温度关系的概念化，二阶协变变得更加相关。在第3集，学生们运用他们所学的函数关系的数学知识，阐述了一个公式，在GeoGebra中绘制所有点的图形:S21将合适的符号关系转换为图形关系，并使用滑块控制其符号表示中引入的参数，并调整函数对数据的趋势。在第4集中，COV 2被用于在新的图形表示中读取实验周期，在最后一集中，它可以对两种图形表示进行全局解释。
分析教学实验的另一个值得讨论的方面是不同阶段所涉及的各种表征的作用。首先，通过第一阶段的真实数据收集和第二阶段的盆栽实验，所有的建模活动都与现实世界紧密联系在一起。后者使学生不仅能够体验实验科学方法的一个重要步骤，而且还与方法部分提到的上一学年进行的实验建立联系。具体来说，课堂实验构成了所有活动的起点，无论是阅读真实的湿度计图表还是GeoGebra中的图形表示，它都成为贯穿整个教学实验的坚实参考点;它还使学生能够从物理的角度解释数学表示。数字工具提供的表示，即再现湿度计图的GeoGebra小程序(图5、6、7)，促进了学生对整个函数族的可视化，同时支持二阶协变和多变推理的形式。一般来说，我们观察到的是，所有选择的表征，无论是真实的还是数字的，都真正地在学生的概念化过程中充当了真实世界和数学世界之间的桥梁(Galbraith and Stillman 2006)。
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