最近的生物实验(L?mmermann et al. in Nature 453(7191): 51-55, 2008;Reversat et al. Nature, 2020;Balzer等人的研究表明，某些类型的细胞即使在没有激活局灶粘附的情况下，也能够在结构化和受限的环境中移动。针对这一特殊现象，并基于先前的工作(Jankowiak等人在数学模型方法应用科学30(03):513 - 537,2020)，我们推导了一个新的二维力学模型，该模型依赖于以下物理成分:支持膜的肌动蛋白皮层的不对称更新，导致物质倒流;核膜及内部核物质的力学描述;引导细胞核定位的微管网络;细胞与外部环境之间的接触相互作用。然后对得到的四阶偏微分方程组进行数值求解，以研究模型参数的定性影响，主要是那些控制核的力学性能和围合结构的几何形状的参数。与生物学观察一致，我们发现以硬核为特征的细胞无法在可以被具有较软核的细胞穿过的通道中迁移。在几何结构方面，细胞的速度和迁移能力受到通道宽度和外部结构波长的影响。尽管仍处于初步阶段，但这些结果可能对确定细胞在受限环境中迁移的物理极限和设计组织工程支架有潜在的用处。
细胞在二维(2D)基质上和三维(3D)环境内的迁移在许多生理和病理过程中起着重要作用，包括胚胎发育、伤口愈合、免疫反应、癌症进展和转移形成(Wolf and Friedl 2006;Bergert et al. 2015;Trepat et al. 2012)。细胞在二维细胞外基质(ECM)上的无限制运动是一个被充分研究的过程，通常被描述为连续和高度协调的循环过程:由肌动蛋白聚合驱动的前缘突起的伸长，整合素介导的局点粘连(FAs)的形成，肌球蛋白介导的收缩和后缘的脱离(Trepat等人，2012;Balzer et al. 2012;Abercrombie et al. 1970)。这一经典描述要求特定的跨膜粘附蛋白(整合素等)将细胞内的力量从细胞骨架传递到底物，以推动细胞前进(Bergert et al. 2015;Rafelski and Theriot 2004;Vicente-Manzanares et al. 2009)，因此被称为粘附依赖性迁移或整合素介导迁移。
虽然这种运动机制已经被很好地理解，但细胞在3D环境中移动时所面临的物理挑战现在才受到更多的关注，最近的研究表明，体内细胞迁移可能与在2D无限制基质上的迁移有很大的不同(Davidson et al. 2014;Balzer et al. 2012)。事实上，在通过组织、ECM屏障、毛细血管和淋巴结的运动过程中，细胞经历了不同程度的物理限制，因此细胞迁移可以通过非常不同的机制实现(L?mmermann et al. 2008;Balzer et al. 2012;Bergert et al. 2015;Even-Ram and Yamada 2005)。特别是，已经观察到，即使在没有局灶粘附的情况下，3D环境中的细胞迁移也会发生，这表明可能存在粘附和迁移的其他机制(L?mmermann等人，2008;Reversat et al. 2020)。
在三维受限环境中已经观察到这种不依赖于黏附的迁移(L?mmermann et al. 2008;Friedl and Br?cker 2000;Friedl et al. 2001;Fraley et al. 2010;O’neill et al. 2018)，使用不同的细胞系和技术。对于不同类型的细胞(L?mmermann等人(2008)中的树突状细胞;reverat等人(2020)中的白细胞;乳腺癌、胰腺癌和人骨肉瘤细胞(Balzer et al.(2012))的研究中发现，在3D环境中迁移可能不需要肌球蛋白介导的收缩，并且整合素抑制剂不会阻碍通过通道迁移导致细胞受限，尽管这些治疗可能会阻碍甚至阻止更宽通道的运动，从而导致不受限制的迁移。考虑到白细胞迁移(Reversat et al. 2020)，一方面，研究表明白细胞在没有粘附的情况下被限制在两个平行的平板之间时不会迁移。另一方面，当在这些板之间放置支撑柱或微制造结构通道时，在柱的尺寸和间距或侧壁结构的特征长度与细胞长度大致匹配的条件下，白细胞无粘附运动是可能的(Reversat et al. 2020)。使用reverat et al.(2020)报道的实验装置和细胞系，当细胞被限制在两个方向的平行平板之间时，没有观察到细胞迁移。
尽管在无黏附的局部迁移过程中推进力的起源和传递尚未完全了解，但所有这些发现(L?mmermann et al. 2008;Balzer et al. 2012;Reversat etal . 2020)表明，2D本质上依赖于整合素，无粘附的运动依赖于结构化的物理限制，只有在3D环境中才能实现，这可以诱导细胞骨架改变，减少细胞运动对粘附-收缩力耦合的依赖。在没有粘附的情况下，跨膜蛋白与底物之间的非特异性瞬时相互作用可能产生摩擦，将突出的肌动蛋白皮层流转化为细胞运动(Bergert et al. 2015;Hawkins et al. 2011;L?mmermann et al. 2008)。还观察到，受限迁移在很大程度上取决于微管(MT)动力学，即使f -肌动蛋白被破坏，也可能持续存在(Balzer等人，2012;Stroka et al. 2014;李和孙2018)。
尽管在许多细胞类型中，增加限制水平可以触发从基于整合素的迁移模式向不依赖粘附的迁移模式的转变(Friedl等人，2001)，但在没有基质蛋白酶产生的情况下，由于细胞刚度，过于强烈的限制会减少甚至阻止迁移(Wolf等人，2003年，2013年)。特别是，虽然细胞质非常灵活，细胞骨架可以主动重塑以发生大变形并穿透小开口，但细胞核通常比周围的细胞质坚硬2-10倍，典型直径为3-10米，占据细胞体积的很大一部分，通常比在细胞外环境中遇到的许多孔都大(Davidson et al. 2014;Wolf et al. 2013;Cao et al. 2016)。因此，当细胞在三维收缩中移动时，细胞核会发生大量变形，这可能是细胞非蛋白水解迁移过程中的限速因素(Davidson et al. 2014;Wolf et al. 2013)。
为了理解细胞迁移过程中涉及的生物物理和机械因素，在过去的几十年里，人们提出了许多数学模型(Jilkine and edelstein - kesheet 2011;Holmes and edelstein - kesshet 2012;Dreher et al. 2014;Danuser et al. 2013)。具体来说，已经有大量与二维基质上的细胞迁移相关的工作，要么模拟膜力学及其信号活动(Elliott等人，2012;Hecht et al. 2011)或详细描述细胞质动力学(Shao et al. 2010;Recho et al. 2013, 2015;Manhart et al. 2015)。然而，包括细胞质机制和膜动力学在内的耦合模型很少受到关注，尽管它们对理解细胞迁移至关重要(Dreher et al. 2014;Danuser et al. 2013;Giverso and Preziosi 2018;摩尔和戈麦斯2018)。此外，大多数这些模型都集中在二维粘附依赖的细胞运动上，在这种运动中，细胞在前缘延伸一个静止的片层基。即使在考虑变形虫运动的模型中，并已扩展到3D受限迁移模型(Moure和Gomez 2016, 2017, 2018)，细胞运动在很大程度上依赖于粘附、肌动蛋白伸缩和细胞通过膜受体感知外场的能力。相反，在受限的3D环境中，与粘附无关的迁移受到的关注较少，数学模型直到最近才开始解决这一有趣的机制。特别是，Wu等人(2018)和Stotsky和Othmer(2022)提出了基于流动摩擦驱动的力传递的聚焦黏附无关细胞游动的简化二维模型，而Kaoui等人(2008)在平面泊泽维尔流的非线性剪切梯度中悬浮的封闭磷脂膜的运动在二维上进行了数值研究。Elliott等人(2012)提出了一种可能的解释，即化学信号活动调节与粘附无关的迁移，他们使用反应扩散方程系统并假设图灵不稳定性来模拟细胞表面的聚合模式，从而驱动假足的形成。我们注意到，细胞运动模型引入了细胞骨架流和底物之间的摩擦系数来表示粘附(Tawada和Sekimoto 1991;Giverso and Preziosi 2018;Farutin et al. 2019;Chelly and Recho 2022;Loisy et al. 2019)也可以用来描述非特异性滑动摩擦(Farutin et al. 2019)。事实上，即使是为了模拟特定的基于整合素的粘附，它们也可以通过对摩擦项进行适当的校准来描述膜与基质或周围流体之间的瞬态相互作用。最近，几个数学模型也研究了相对于其他内部耗散过程的消失摩擦系数的非平凡极限(Chelly和Recho 2022;Loisy et al. 2019;Le Goff et al. 2020)，这表明运动仍然可以发生，并且使模型对细胞与其环境的粘附特性不具有特异性。然而，由于这些模型中的大多数都对确定细胞运动开始的最小成分感兴趣，因此它们在一维设置中求解(Farutin et al. 2019;Loisy et al. 2019;Le Goff et al. 2020)。此外，在所有这些情况下(Kaoui et al. 2008;Wu et al. 2018;斯托茨基和奥梅尔2022;Elliott et al. 2012;摩尔和戈麦斯2017,2018;Chelly and Recho 2022;Loisy et al. 2019;Le Goff et al. 2020)，细胞核的存在作为细胞迁移的限制因素和禁闭的影响未被考虑在内。
最近的一些研究包括了核变形对细胞迁移全过程的影响。在Moure和Gomez(2020)中，使用鱼角质细胞的计算模型研究了细胞核的作用，但该模型是专门为二维细胞迁移而设计的，因此不能用于三维有限迁移。另一方面，Cao等人(2016)建立了化学力学模型，研究核在通过受限间隙迁移过程中的应变和形状、塑性变形和包膜破裂阈值。在Lee等人(2017)中，提出了细胞通过密集宿主细胞网络迁移的2D模型，以再现胶质瘤细胞的侵袭。运动的细胞由两条弹性闭合曲线表示，一条内部曲线对应于细胞核，一条外部曲线对应于细胞基膜，而不运动的细胞由一条弹性曲线表示。Chen等人(2018)在密集微环境中模拟了细胞和细胞核在入侵过程中的变形，并结合随机过程，使用蒙特卡罗不确定性量化模拟评估了输入变量的不确定性。这些模型Lee et al.(2017)、Chen et al.(2018)和Cao et al.(2016)依靠外部化学因素，能够正确再现生物实验中观察到的沙漏细胞和细胞核变形。
在这项工作中，我们在Jankowiak等人(2020)的基础上开发了一个简化的框架，以研究是否可以由简单的机械特征驱动无粘附迁移。我们还测试了细胞核力学性能对确定细胞迁移物理极限的影响。因此，我们提出了一个考虑流动-摩擦驱动的力传递、细胞膜聚合和核变形的封闭环境中不依赖黏附的细胞迁移过程中的力产生模型。细胞由两层膜组成，外层代表细胞膜，内层代表细胞核。这两层膜由微管连接，微管负责细胞核在细胞内的位置。细胞膜下肌动蛋白网络的更新是通过沿膜的质量分布的演变来模拟的。下沉)在前面的项(如:)，同时也考虑到质心守恒。该模型用于模拟具有结构壁的通道内的细胞运动，其波长范围为细胞和细胞核直径的数量级。我们在第2节中给出了数学模型，并在第3节中给出了用于求解方程组的数值格式。最后，在第4节中，我们给出并讨论了数值结果。
在本节中，我们提出了连续体模型成分，用于在包含给定几何形状的刚性障碍的区域中进行无粘附细胞迁移。受reverat et al.(2020)的实验设置的启发，其中细胞被限制在平坦的顶部和底部表面以及结构化的侧壁之间，我们选择了一个二维模型，代表三维设置沿垂直方向的投影，即垂直于平壁的方向。我们认为细胞由两个主要的隔室组成，细胞质和细胞核，两者都被膜包围。核膜和细胞膜可以用闭合曲线表示。我们将细胞皮层与细胞膜区分开来，并将它们的集合描述为一条曲线。这意味着我们没有模拟皮层和膜之间的分离和再附着事件，这些事件已知发生在某些细胞中。细胞皮层由一个脂质双分子层和一个复杂的肌动蛋白丝网络构成。假定它是弹性的，并受到作用于其向外法线方向的压差力。构成细胞皮层的肌动蛋白网络的更新是许多细胞行为的关键因素，这里通过沿皮层沉积和移除物质来模拟。在粗略的生物学术语中，这对应于肌动蛋白丝某些部分的聚合和解聚之间的不平衡，并赋予细胞优先的运动方向。然后肌动蛋白在细胞中被运送到一个新的位置，在那里它再次聚合(肌动蛋白踩踏)。必须考虑到这种输送机制，以确保在没有外力的情况下保持动量。在我们的模型中，这是通过包括一个额外的反作用力来完成的，详见第2.2节。所有这些对皮层的机械作用与周围液体(细胞外部和内部)的摩擦作用相平衡，这些摩擦作用没有明确描述。
最后，核膜可以被认为是一种双磷脂双分子层，具有相关的中间细丝网状结构，形成稳定细胞核并提供一定的抗弯曲和抗张力的核膜。核膜最终受到细胞质溶胶和细胞核内部的压差。同样在这种情况下，我们用一条曲线表示核膜和核膜的整体。我们使用术语“核膜”或“核膜”来指围绕细胞核的膜和层状蛋白的整个结构，而“细胞膜”或“细胞皮层”表示带有相关肌动蛋白皮层的外膜。
由于我们考虑沿垂直于Reversat et al.(2020)中使用的3D设置的平面方向的2d投影，我们设置自己并考虑由时间相关的封闭曲线和分别表示的细胞皮层和核膜，
其中是某个固定的最大时间，是肌动蛋白沿膜的固定总量或质量。空间变量s (p.)属于，可以认为是区间[0,M]，其中0和M被识别，因此，对于任何固定值，和的连续性足以强制曲线和的封闭性。注意，X和Y不被假定为弧长参数化。时间导数表示为和，而空间导数(沿曲线)分别表示为和。在某种意义上，变量s沿着曲线计算肌动蛋白的质量，从而跟踪拉格朗日粒子。更准确地说，对于任何非空间隔，对应皮质上的肌动蛋白量，即在和之间，为。因此，X不仅编码几何信息(曲线的形状)，还编码有关肌动蛋白在皮层内分布的信息。通过用s来表示问题(而不是弧长)，我们可以用一个关于x的方程来描述这两个量的时间演变。用弧长来表示方程使得处理与时间相关的长度L变得更加困难，就像这里的情况一样，特别是对于数值。因此，我们使用与时间无关的。为了完整起见，让我们强调变量s之间的联系，弧长和皮层上的肌动蛋白密度，我们将用。作为标准，两点之间的长度由
和之间的肌动蛋白的质量是，所以，如果假设它是正的，根据勒贝格微分定理
如果我们现在考虑s是弧长的函数，我们有，稍微滥用符号，它是
（1）
如此......以至于......通过改变变量，这是兼容的
（2）
在下面，我们取，暗示肌动蛋白质量相对于参考总质量归一化，因此。
假设曲线足够光滑，我们用和n(t, s)表示细胞膜曲线在X(t, s)处的单位正切和单位向外法向量，用和表示核膜曲线在X(t, s)处的单位正切和单位向外法向量。假设参数化的正方向，我们有
（3）
按照惯例。本文中使用的符号的草图如图1所示。
图1
参数化和相关的矢量，以及微管网络几何形状的表示，中心体与细胞核的质心相连。粉红色区域表示微管存在的位置，膜上相应的锚点以粗体笔画表示。底部的箭头表示曲线的方向。中心体和细胞核之间的弹性连接(用青色表示)也被表示出来，以及微管力，这两者将在后面详细介绍(在线彩色图)。
最后，设为有界的集合和有界的集合，即和:为了生物一致性，我们必须保证细胞核位于细胞内，即。在细胞运动和其他生物过程(如发育、有丝分裂、受精等)中，细胞核的定位对细胞结构的建立至关重要(Tran et al. 2001)。核定位通常依赖于一些细胞骨架成分，主要是微管(MTs)，微管是微管蛋白的动态聚合物，中间细丝由一系列具有共同序列和结构特征的相关蛋白组成。微管起源于mt组织中心(MTOC)，其功能包括微管成核、稳定和/或锚定。研究得最好的MTOC是中心体，它存在于许多动物细胞中。中心体通过MT与细胞核相连，相关中间丝在核膜周围形成环状网络，并通过MT与细胞肌动蛋白皮层相连。因此，MT结构及其相关中心体将细胞核与细胞包膜偶联，在提供细胞结构和形状、决定细胞迁移方向和持续性、定位细胞核等方面发挥着重要作用(Fruleux and Hawkins 2016;Gundersen and Worman 2013;Beadle et al. 2008;Friedl et al. 2011)。通过末端微管单体的组装和拆卸，微管不断地在生长和收缩状态之间切换，这一过程被称为动态不稳定性。它们能够在组装过程中对细胞膜产生推力，在拆卸过程中产生拉力(Laan et al. 2008)。在这项工作中，我们忽略了通过单体的添加和分离来描述MT的动态生长/收缩，但是MT结构是在每个时间t建立的，这取决于中心体和细胞皮层的位置。在这种情况下，没有描述每个灯丝随时间的增量增长，MT结构不断发展，并且它不是一劳永逸地固定的。通过采用连续设置，在每个时刻，假设mt均匀分布在中心体周围，位于细胞内的皮质上所有可以通过线段与中心体连接的点。在图1中，可以定义mt的细胞区域用粉红色表示。
考虑到这一点，可以将膜皮层上的微管锚定点定义为与细胞皮层夹角开始的半线的第一个交点。形式上，我们定义了映射
在哪里
这个映射是定义好的，如果是星形的，则是满射的。定义微管皮层定锚点位于某角度处为
（4）
在图1中，mt可以锚定的皮层部分以粗体笔画突出显示。注意，稍微滥用符号，也可以看作是映射到这样的。
然后，该段表示给定时刻的微管。图1中紫色部分表示了一些有代表性的mt的构造。我们注意到，可以在图1中以粉红色表示的细胞的整个区域中绘制MT，这定义了连续的MT结构。因此，MTs结构均匀地跨越中心体周围的所有角度，并且MTs长度的分布可以随时间而变化，这取决于中心体和细胞膜点的位置。由于本文使用的2D表示代表三维细胞沿垂直方向的投影，因此我们假设MTs和中心体也可以构建在核区域(图1中的青色区域)，代表在核下方或上方延伸的细丝。最后，我们观察到，在这个描述中，我们忽略了mt的变形，我们无法捕捉到mt在细胞膜上的弯曲(Geisterfer et al. 2020)。然而，这种现象的描述将需要MT的更深层次的机械特征，并需要一个3D模型，以便正确地表示MT细丝的几何形状。
下面，在上述设置下，我们将推导出描述细胞皮层(2.2节)、mt结构(2.3节)和核膜(2.4节)进化的方程。只要可能，不同的因变量函数对自变量参数的依赖性将被省略。
关于细胞膜的进化，我们参考了Jankowiak等人(2020)提出的模型，该模型经过适当修改，以考虑到细胞核和MT结构的存在。Jankowiak等人(2020)给出了肌动蛋白密度的演变，该密度描述了由于皮质聚合速率的异质性而导致的模型的活性成分:
（5）
其中为肌动蛋白密度增加()或减少()的速率。
正如Jankowiak等人(2020)所做的那样，我们假设皮层中肌动蛋白的总量保持不变，细胞极化和随后的肌动蛋白聚合表现为局部不平衡，导致靠近细胞前部的肌动蛋白密度净增加，靠近细胞后部的肌动蛋白密度减少达到平衡。因为我们假设皮层中肌动蛋白的总量不随时间变化，我们需要
传质速率，或聚合速率，定义为
（6）
式中分别为正、负部分。
在实践中，我们假设电池在给定的方向上极化，并且对于每个时间t，有唯一的，(见图2的左侧)，因此
f的合理选择是一个函数，它的(非负的)最大值和(非正的)最小值是。
关于细胞皮层上的MT端点密度，我们可以定义
（7）
为了推导Eq.(7)，我们利用了that和that这个事实
导致
然后，细胞皮层的进化是由牛顿第二定律决定的，以过阻尼的方式书写，即周围流体的摩擦与所有其他贡献相平衡，导致以下X的平衡定律:
（8）
其中，通过适当选择时间尺度，使时间导数前的摩擦系数等于单位，而不丧失一般性，如Jankowiak et al.(2020)所做。我们注意到，这里忽略了对细胞内外流体运动的描述。这一假设似乎是合理的，至少参考了Reversat等人(2020)进行的生物学实验，因为我们研究的是一个被限制在通道内的细胞的运动，其中水动力相互作用不是细胞运动的主要原因。在式(8)中，细胞皮层相对于实验室坐标的速度由物质导数DX(t, s)/Dt给出，而不是由偏导数给出。这是因为s对t的隐式依赖是由(5)中密度的时间演变引入的。在图2中，我们概述了为什么对于非零聚合速率和固定s, X(t, s)不跟踪材料点。物质导数定义为
（9）
这里用的是(1)(5)
图2
左图:时间t时电解槽的参数化。如图所示为电解槽的正面和背面，以及可能选择f的相应聚合区域。深黄色和浅黄色区域分别突出了和的支持。右:参数化。虚线显示了材质点在t和和上的映射。由于聚合作用，在曲线上部的两个黄色区域之间，因此，在，原本位于的物料点在，对于一些(彩色图在线)
式(8)中左、右、右两项分别表示微管结合复合物在皮层上滑动产生的摩擦力和mt伸长产生的直线力(将在2.3节中详细说明)。这两项都作用于细胞膜上可以定义MT锚点的部分，因此它们的权重由式(7)定义。式(8)中r.h.s.的第二项和第三项分别考虑了细胞皮层与细胞核之间的接触(详细描述见第2.4节)以及细胞与通道壁之间的接触。在下面，我们假设它来源于一个势，在第4节中提出了一个可能的选择。必须选择(对于每个时间t)在方程(8)的r.h.s.上的第四项中的补偿力，以便如果约束，核和微管结构的影响被移除，并且如果肌动蛋白沿着皮质的运动通过跑步完美地平衡，没有任何内部耗散，则质量中心是固定的(参见Jankowiak等人(2020)有关推导的更多细节)。在这种情况下，我们得到积分后的结果
（10）
其中由式(9)定义，与聚解聚引起的肌动蛋白转运有关。最后，公式(8)的r.h.s.的最后一项考虑了由于皮质机械行为和细胞内外的压力差而作用于细胞的力，它可以从细胞膜能量中获得
膜能量包括一个表示细胞和细胞皮层弹性的弹性项和一个与存在压差有关的弹性项。更准确地说，相关弹性能由两部分组成，第一部分与细胞膜对张力的响应有关，第二部分与细胞对偏离目标区域的响应有关。对细胞膜长度和细胞面积的弹性约束的引入与使用弹性弹簧连接细胞不同部分的膜和皮层弹性的原型模型一致(Barnhart et al. 2010;Du et al. 2012;Recho and Truskinovsky 2013;Kuchnir Fygenson等人，1997)。我们观察到细胞的弹性反应可能与肌动蛋白皮层和磷脂细胞膜有关。由于肌动蛋白皮层在30-100秒的时间尺度上经历了不断的更新(Rubinstein et al. 2009)，而皮层内的体弹性应力在1-10秒的时间尺度上是松弛的(Rubinstein et al. 2009;Mofrad 2009;Recho et al. 2015)，比运动实验的特征时间尺度短得多，外部曲线的弹性行为主要与细胞膜本身的机械反应有关，而与肌动蛋白皮层无关。
在形式上,读
（11）
式中为表示细胞膜拉伸性的力学参数。
这种选择是由离散尺度上的一些推理所驱动的。实际上，我们考虑以下非常简单的皮质模型:我们认为皮质是由n个单独的点质量组成的(封闭)链，每个点质量为M/n。它们由具有刚度和平衡长度的胡克弹簧连接起来，使两者之间的弹簧势能有如下表达式
总势能由i求和得到:
通过考虑与的缩放，我们可以将(形式)极限作为恢复。由于指标i计算“质量”，如2.1节开头所述，连续变量s也计算“质量”，因此可以得到Eq.(11)。也可以用弧长来表示
因此，局部能量密度是凸的，其最小值为，并且随着参考密度的大小而变大，即非此即彼。我们注意到，尽管位移没有明确地出现，但由于式(2)，的贡献倾向于保持(或等价)，因此长度L接近于1。如果假设肌动蛋白皮层连续地以密度布局(即聚合)，则可以解释为某种形式的位移，这解释了上述方程中右侧的形式。该因子可以理解为:对于给定的位移，局部能量密度随肌动蛋白丝密度线性增长。上述表达式与弹性环的标准势能相似，只是有一个因素。换句话说，局部能量密度也与肌动蛋白密度成正比，这与离散模型是一致的:对于固定n，当点质量彼此远离时，在给定长度间隔内的弹簧数量减少，它们施加的力也减少。
此外，我们在单元面积上包含了一个弹性约束(这将对应于三维空间中的体积)。特别是，根据以前的工作(如Kuchnir Fygenson等人，1997)，我们假设当细胞面积等于给定的目标面积时，细胞的弹性能量最小，即。
（12）
式中为表示单元体对其面积变化的弹性阻力的力学参数，由域的度量给出，。在物理上，这模拟了细胞器在细胞质中的抗压性。
关于这一术语，由于渗透作用，我们假设细胞受到细胞质内部压力的影响，从而产生沿曲线正方向的力。假设单位长度的力强度在空间上均匀，在时间上恒定，则相关能量为
这里是细胞内压强相对于细胞外压强的恒定超额压强。
如2.1节所述，微管(mt)和相关的中心体是皮层和细胞核之间的主要偶联机制。众所周知，微管可以产生力量来定位和塑造细胞器，特别是细胞核(Mofrad 2009)。一些观察结果(Soheilypour et al. 2015;Mofrad 2009;stamenovic等人(2002)认为，在所有细胞骨架成分中，mt在承受压缩载荷方面起着关键作用，充当维持细胞形状的被动压缩支持元素。然而，当mt通过动力蛋白运动蛋白固定在细胞皮层时，它们能够在其组装过程中对细胞膜产生推力，并在其拆卸过程中产生拉力(Laan et al. 2008)。由于已经发现细胞核和中心体的位置主要取决于微管的推/拉力(Laan et al. 2008)，我们在这里有兴趣给出这种力的简化数学描述，这种力是沿着微管轴方向的。
在本研究提出的数学设置中，在每一个时刻，一个连续的mt结构，均匀分布在中心体周围，位于，连接着中心体和皮层上的点，mt可以在那里锚定(见图1中的粗线)。
因此，微管的推力/拉力沿着代表微管的线段方向(见图1中紫色的参考部分)。文献中的许多工作都集中在MT对弯曲(Mizushima-Sugano et al. 1983)和径向压痕(Schaap et al. 2006)的机械响应上，但对其对伸长的响应知之甚少。然而，一些工作强调了mt关于沿mt主轴方向的力的有趣行为(见Laan等人，2008;Soheilypour et al. 2015)，它负责细胞核和中心体的定位。特别是，Laan等人(2008)假设MT施加的在线力与其聚合活性有关，而Soheilypour等人(2015)则观察到长MT束的弯曲，这可以大大减少施加的张力。在这项工作中，我们认为沿MT长轴方向的MT力的模量是微管长度的函数，要指定，即。
（13）
是表示MT方向的向外单位矢量。在下文中，我们将考虑，较小的MT，聚合最多，施加更大的力，而由于屈曲不稳定性，力随着MT长度而减小。我们观察到，因为，作用在MT上的力总是指向，而每个MT施加在细胞皮层上的力是反对它的，是指向的。我们注意到微管力作用于细胞皮层的部分[见式(8)]和mt产生的中心体。那么作用在中心体上的所有微管力的总和为:
（14)
除了由于延伸而产生的直线力外，微管的皮层端点还受到由结合复合物在皮层上滑动引起的摩擦力。这种力的方向与中心体相对于皮质的速度相反。摩擦力也会产生一个角速度的扭矩。在所有MT以相同的角速度旋转的意义上，MT结构相对于角速度的运动可以被认为是刚性的。然而，由于MT结构不是简单地旋转，而是根据细胞形状和微管组织中心位置调整大小，因此它不是标准的刚体旋转。正如已经指出的，这当然是更为复杂的生物现实的近似。
定义中心体相对于微管皮层端点的角度的速度，我们有
(15)
式(15)的r.h.s上的第一项表示中心体的速度，而方括号之间的第二项表示附着微管的皮质点的速度。由于MT结构在细胞中的每一个瞬间都是重画的，没有明确地跟踪每一个MT的运动、伸长和/或断裂，为了正确地定义MT在皮层上的速度，我们必须考虑MT在细胞皮层上的锚点，它的位置是明确的，并且可以在时间上区分，而不是MT的末端，它没有明确地跟踪。我们注意到，我们考虑的是与总导数相反的，因为我们想描述中心体相对于细胞膜的相对速度，而不是相对于实验室框架的相对速度。此外，式(15)的r.h.s.上的第三项对应的是MT结构在每一时刻由于旋转引起的滑动，这是考虑线速度和角速度之间的关系得到的。
为便于后续计算，相对速度v也可以沿方向分解为:
其中和为对应的斜投影:
在皮层的局部，微管与皮层的摩擦产生了一种力
其中、为对应方向上的摩擦系数。在下面，为了简单起见，我们将采取，但模型可以很容易地推广到这种情况。
通过写出作用在微管结构上的力的总和，其中包括(沿mt方向的力)，由式(14)给出，以及作用在中心体本身上的力(将在第2.4节中详细说明，参见式(27))，我们得到以下力的平衡:
（16)
我们用了速记法。
由于微管结构的转动惯量w.r.t.为零，我们也有如下的力矩平衡
可以将v分解为:
(17)
收集(16)(17)，我们得到系统
(18)
在哪里
其中是二维中的单位矩阵。我们注意到，根据詹森不等式，我们有
等式只有在简化到一个单点时才成立，所以我们可以假设行列式总是正的。然后，对式(18)进行求解，得到MT结构的角速度和中心体的速度:
(19) (20)
我们认为细胞核物质比细胞的其他部分更难变形，其松弛时间可以忽略不计。核膜具有一定的机械行为，如前所述，它与中心体相连，中心体有助于细胞核在细胞内的定位。此外，细胞核不能穿过细胞膜，因此通过接触力与细胞膜相互作用。然后，把核膜内部的力称为核膜内部的力，由于原子核和中心体之间的相互作用而作用在核膜上每个点上的力，与皮层的接触力，牛顿第二定律对于核膜，忽略惯性项，是这样的
(21)
不同的术语的意义和推导的l.h.s Eq。(21)如下图所示,而这个词在r.h.s.描述摩擦力作用于细胞核。在下文中，我们假设表示核膜与细胞质之间相互作用的粘性系数与表示细胞皮层与细胞内和细胞外液体之间相互作用的粘性系数相同，将系数设为1。当细胞以不依赖于粘附的方式迁移时，这个假设似乎是合理的，而在粘附介导的迁移中，皮层方程中的摩擦项也应该考虑到粘附点与周围环境的形成和破坏，它当然不同于表示细胞/核膜与流体之间相互作用的粘性系数。对于式(21)的l.h.s，与膜力学行为有关的力可以由核膜能，通过关系式导出
其中能量是与核包膜的本构力学行为有关的所有能量的总和，即。
（22）
其中为弧长单元和面积单元。Eq.(22)中的第一项表示与膜弯曲相关的能量，是核膜的弯曲模量，K是局部曲率和特征(或自发)曲率，根据Kaoui et al.(2008)，在接下来的内容中假设其为零。第二项表示作用在膜上的拉伸应力，可以认为是核表面张力。是细胞质溶胶内的压强和细胞核内的压强之差。最后，最后一项表示与细胞核面积相对于定义的目标区域变化相关的体积弹性约束，其形式与式(12)中对整个细胞引入的约束相同。
考虑到所有这些贡献，计算核膜能量函数的变化(见A节)可以得到如下的核膜机械力
其中N为与细胞核的向外法线(见图1)。然后，为了推导出公式(21)中第二项的数学表达式，我们假设中心体通过细胞骨架丝，即微管和中间丝与核膜点相连(Cooper 2000)。中间丝形成一个复杂的环状网络，围绕着大多数细胞的细胞核，并延伸到细胞质中，在那里它们与细胞骨架的其他元素(如微管)结合在一起(Cooper 2000)。附着在核膜上的中间丝与微管一起，在细胞内定位和固定细胞核，重新分配作用在细胞核上的力，并提供一个支架，将细胞骨架的组成部分整合在一起(Cooper 2000)。因此，假设这些细胞骨架偶联结构中的每一个都表现得像一种弹簧，并且由围绕细胞核的中间丝形成的网络导致了核膜长度上中心体和核膜耦合力的均匀分布，我们有
(23)
式中为中心体与核膜点之间每个虚连接的弹性，为t时刻核膜的长度，由
(24)
由于我们所考虑的二维设置将被解释为三维几何的投影，因此我们假设原子核质心和中心体之间连接的剩余长度等于零。这种情况代表了中心体位于细胞核顶部或底部的三维情况。它位于细胞核二维投影的中心。如果假设它是常数，则可以将(23)重写为
（25）
原子核的质心(见图1)定义为
（26）
在同样的假设下，还可以定义所有中心体与核相互作用所产生的作用在中心体上的总力，这是式(16)的一部分:
(27)
我们观察到在核质心和中心体之间存在弹性耦合，如式所示。(25)和(27)，与br
ckner et al.(2022)提出的数据驱动理论方法一致。具体而言，br
ckner等人(2022)基于细胞核质心与细胞质突起中心之间的弹性耦合，结合作用于细胞和细胞核的非特异性摩擦以及对细胞极性的适当描述，将实验数据推断与机械方法相结合，开发了一个局限细胞迁移中的突起和极性动力学模型。
最后，如前所述，细胞核被限制留在细胞内，因为它不能穿过皮层。这是通过包含一个惩罚来保证的，该惩罚由Eq.(21)的l.h.s上的最后一项表示。接触力由
(28)
式中为具有紧支撑的递减函数。
通过对称，我们指定作用在皮层上的相应力，出现在(8)中。
（29）
如此......以至于......
我们注意到，对于任何范围的模型参数和通道大小，为了防止细胞核和细胞皮层的渗透，包含接触约束是必不可少的。实际上，包含式(13)给出的MTs力是不够的，因为它不直接作用于核膜点，但其结果(见式(14))作用于中心体。中心体的位置反过来影响细胞核质心的位置，但在细胞核与细胞皮层之间没有任何接触力的情况下，细胞核与细胞皮层的某些区域之间可以发生穿透。使用的具体功能形式将在第4节中讨论。
摘要
1 介绍
2 数学模型
3.数值Discretisation
4 数值实验
5 结论
笔记
参考文献
致谢
作者信息
道德声明
补充信息
附录
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整个系统由方程组成。(8) -(18) -(21)用有限差分在空间上离散，然后用1阶的分步时间步进格式求解得到的ode系统。在每个时间步，核膜的新位置使用下面描述的显式方案计算。然后，使用半隐式方案更新皮层和中心体的位置。
我们假设皮层上的肌动蛋白的总质量归一化为1，我们引入栅格点来离散s(对应于皮层)，这样，为。给定一个时间步长，表示。在接下来的内容中，下标(例如:下标)对应于空格(如:时间)，我们定义。为了便于阅读，如果可能的话，省略了索引或指数。对于积分，我们使用中点法则，意思是
和
我们定义和。
将皮质弹性力、体弹性力和压力离散为
(30)
其中(多边形)面积计算为
与墙的相互作用力就变成了
而(9)中的传输项为
根据式(10)，补偿力必须满足
在目前的工作中，我们主要对原子核对动力学的影响感兴趣，因此为了简单起见，我们可以选择独立于i。
计算(或等价地)和需要从中心体构造皮层的可见性多边形。我们不讨论这里的结构和参考李(1983)和乔和辛普森(1987)的细节。的求积公式及表达式详见“附录B”。
还需要处理细胞皮层与核膜之间的接触力，我们简单地将其离散化(29):
MT结构的角速度和中心体的速度的Eq.(18)在时间和空间上类似地离散，使用附录(见B节)中报道的正交公式计算不同量的积分。
对于时间迭代，我们使用隐式欧拉格式，因此对于皮层和中心体，我们在每个时间步长都得到如下形式的系统:
其中r.h.s.对应于本节详细介绍的离散项，矩阵M是对应的雅可比矩阵。上面最左边的矩阵对应于时间导数的离散化。由于问题是用角速度来表示的，其控制方程不涉及时间导数，因此对角线的最后一个元素为零。
核膜的演化是用Mikula和?ev?ovi?(2004)以及Bene? et al.(2009)中提出的公式和有效的离散化方案改写所提出的方程(21)得出的，该公式和有效的离散化方案适当地适应了我们的设置。该方法主要是将引导核膜演化的速度，分解为正切向分量和正切向分量，从而。法向速度是决定核形态变化的速度，而切向分量对进化曲线的形状没有影响，但它支配着核包膜上节点的分布。细胞核的演化由以下系统给出(详见附录，第C.1节和C.2节)
(31)
式中为弧长，K和分别为某一点处核包膜局部长度的曲率、切角和对数，为与细胞皮层接触相互作用、与中心体弹性约束和核膜表面张力结合的电位。在式(31)中，我们取
(32) (33)
式中，为u在整条曲线上的平均值，使得(32)为非局部方程，而为一个给定的正常数，为了避免节点集中于点而导致近似不良，最终导致病态矩阵的反演。
为了写出(31)的相应离散化，我们将固定参数化区间[0,1]统一离散在子区间中，每个子区间长度相等，索引为。对于时间，我们使用与细胞膜相同的离散化方法，这样点就被写出来了。有限单元在时刻的度量，由。然后，求解离散量，，，，，的方程组(31)-(32)-(33)。特别是表示节点的切向速度，而，是有限元上相应量的分段常数近似值。
在“附录C.2”中报告了决定核膜演化的代数系统，并对离散方程的推导进行了一些评论。最后，使用JuliaFootnote 2实现数值代码求解了离散方程组(Bezanson et al. 2017)。
在本节中，我们给出求解第3节中给出的离散方程组的数值结果。我们特别考虑具有以下形式的结构性侧壁的通道:
其中表示通道平均宽度的一半，是壁面振荡的振幅，是正弦通道的脉动(见图3这些量的说明)。我们注意到，对于，一个恢复平壁几何。然后我们选择
其中为光滑势垒函数。类似地，在方程中描述细胞核和细胞皮层之间的接触力。(28) -(29)，我们使用，其中为参数。
关于聚合，我们遵循2.2节并选择超高斯:，其中C是归一化因子。我们选择和。
最后，我们将考虑表示单元格的情况
仅通过细胞包膜进行比较，如Jankowiak等人(2020)所做的那样;
通过细胞包膜和细胞核，通过微管结构连接在一起，如第2节所述。
细胞皮层的初始条件被选择为与通道侧壁相匹配的封闭曲线的均匀间隔离散(尽管宽度较小)，以便使初始细胞面积等于目标区域。更准确地说，它是以下4条曲线的并集:
选择的地方，使被包围的区域为。核的初始条件为以和为中心的圆，其中为半径为开球，表示闵可夫斯基和。这种结构如图3(右)所示。
在4.2节中报告了一些基准模拟中细胞和核膜的时空演变，而在4.3节中研究了模型的不同参数对细胞在正弦通道内移动能力及其速度的影响。
图3
左:数值模拟中使用的正弦通道用参数来描述:(1)表示通道平均宽度的一半，(2)表示壁面振荡的幅度，(3)表示正弦通道的脉动。右图:初始数据及其组成部分的构造示意图。的值被固定为，并被选择使初始单元格面积(蓝色)等于(联机彩色图)
在本节中，我们研究了该模型在通道内复制细胞迁移的能力以及细胞和细胞核形状的时空演变。
我们首先考虑的情况是，一个细胞位于一个壁平的通道内():在这种情况下，独立于通道的宽度，在模拟中没有观察到迁移，尽管有极化和相应的皮层流动(见图4)。这是由于细胞中肌动蛋白运输的总体平衡。如果我们只考虑聚合和肌动蛋白的逆行流动，那么我们期望的是正向运动。然而，在后面解聚的肌动蛋白必须被运送到前面。这一机制虽然没有明确建模，但通过力的作用被考虑在内，它与皮层中的肌动蛋白流动相平衡，导致细胞静止。如果其中包括额外的耗散效应，则可以再次预期运动(Torres-Sánchez et al. 2019)。
这一结果证实，无黏附运动依赖于结构约束，这与在白细胞上进行的实验一致，在没有细胞运动的情况下可以观察到逆行皮层流动(Reversat et al. 2020)，也与Jankowiak et al.(2020)中描述的模型一致，其中不考虑细胞核。
图4
平衡配置，其余参数的值如表1所示。细胞是蓝色的，细胞核是浅蓝色的。深蓝色的点是中心体。黄(色)的厚度。细胞膜上的浅黄色区域表示聚合的强度。解聚作用)。箭头表示皮层相对于细胞的流动(在线彩色图)
然后我们描述细胞在具有正弦壁的通道内的运动。在这种结构中，细胞呈沙漏形，细胞核变形，这在体内经常观察到，因此这种类型的通道可以被认为是模拟细胞自然迁移的细胞间和细胞外空间。
在这种情况下，正如生物学所知，细胞在通道内迁移的能力及其迁移速度受到细胞核存在的高度影响，细胞核是细胞中最坚硬的部分，因此可以停留在细胞的后部，阻止细胞运动。在本模型中，核对变形的阻力高度受弯曲模量和弹性面积变化约束的控制。因此，在图5(以及补充材料中的视频)中，我们报告了细胞和细胞核形状在同一时刻的演变，对于一些典型的模拟，得到了不同的参数和。也就是说，我们认为
(a)
没有细胞核的迁移细胞，如Jankowiak等人(2020)所做的(图5a);
(b)
具有低核弯曲模量的迁移细胞(图5b，带);
(c)
具有中间核弯曲模量的迁移细胞(图5c，带);
(c)
松弛参数值更高，弯曲模量与(c)相同的迁移单元(图5c′，with);
(d)
细胞核弯曲模量高的不迁移细胞(图5d，带)。
图5
不同时间皮质/核/中心体系统的快照，无核(a)，核刚度增加。平均速度在有原子核存在时减小，随着增大而进一步减小[(b)， (c)]，最终达到0 [(d)]。行(c’)表示核面积约束松弛参数较大时的情况。其他行对应于。其余参数如表1所示
表1总结了仿真中选择的其他无量纲参数。我们观察到，对于图5a-c '中模拟中设置的特定参数选择，即使细胞核被明确建模，细胞也能够在通道内迁移。在运动过程中，细胞和细胞核的大小和形状会随着细胞面积和细胞核面积的变化、它们的机械性能、微管和聚合力以及与通道壁的接触而变化。特别是，可以看到细胞首先突出细胞质，以填充细胞核前方的最大正弦空间。细胞质的最大伸长受细胞靶面积、细胞膜靶表面和细胞膜力学参数的控制。由于在图5的模拟中这些参数是固定的，因此在不同的情况下，通道内的细胞质延伸是可比较的。当细胞质完全填满新的空间时，细胞核被微管结构拉过通道中的收缩处，在前面形成一个泡，直到细胞核被推入正弦通道中的第二个收缩处。当细胞核具有较低的弯曲刚度时(见图5b)，它通过通道中的收缩而获得沙漏形状，并且在细胞前部和细胞后部形成明显的核突。然而，对于较高的弯曲刚度值(见图5c)，核收缩以通过收缩，气泡的形成和沙漏形状的发展不太明显。此外，如果增大核面积变化约束，在保持值不变的情况下，核无法收缩通过缩窄，核变形剧烈，在核的前部和后部都出现气泡(见图5c’)。在所有这些情况下，当细胞核填满细胞前方的新正弦空间时，细胞质在下一个可用的正弦空间中突出，这个过程循环重复，允许细胞在通道内向前移动。
我们注意到，虽然细胞运动发生在一个简化的几何结构内，但细胞核沙漏变形和与细胞外空间的小开口相对应的气泡形成是复杂ECM内细胞运动时观察到的一个特征(Wolf等人，2007,2013;Beadle et al. 2008)。
此外，包括细胞核描述的重要性从图5d中报告的模拟中变得清晰，为了解释细胞可以被困在通道内的那些情况，因为细胞核不能变形和挤压通过通道的小开口，从而阻止细胞运动。事实上，在最后一种情况下，尽管细胞质在通道内突出，细胞核被微管拉着，但使细胞核变形和弯曲所需的能量太高(由于高值)，因此细胞核被卡在细胞的后部(见图5d)。这一发现与Wolf等人(2007年、2013年)、Rolli等人(2010年)和Beadle等人(2008年)等大量实验工作在定性上一致，在这些实验中，细胞迁移能力与核变形有关，并且观察到存在一个临界ECM间隙大小，低于该间隙大小，在非蛋白质水解过程中，细胞迁移完全受到阻碍。这样的临界尺寸被称为“细胞迁移的物理极限”(Wolf et al. 2013)。特别是已经观察到，当通过收缩时，核的形状可以强烈地偏离球形。具体来说，规则圆柱形通道内变形核的形状可以通过一个长椭球体来近似(Versaevel et al. 2012;Friedl et al. 2011)或雪茄状(Friedl et al. 2011)，而在结构化通道或复杂的3D细胞外基质中，核的形状可以高度变化，从规则的沙漏形状到更不规则的核构象(见Friedl et al. 2011报道的实验图片;Davidson et al. 2020, 2014)。
此外，我们工作中的数值结果与其他数学模型一致，这些模型处理了细胞核力学特性对细胞在细胞外基质组成的通道中迁移能力的影响(Giverso et al. 2014, 2018;Scianna et al. 2013;Scianna和Preziosi 2013, 2014)，并通过静态细胞的密集网络(Lee et al. 2017)。特别是，相对于以前的力学模型(Giverso et al. 2014, 2018)，这项工作提供了对这一现象的更好见解，因为研究了整个过程的动力学，以及细胞膜的影响。此外，在这种情况下，细胞的运动不需要像Lee等人(2017)那样存在外部通量，而只依赖于细胞变形、皮层聚合和微管活性。最后，与之前使用扩展版本的Cellular Potts模型(Scianna et al. 2013;Scianna和Preziosi 2013, 2014)，这项工作原则上允许获得整个迁移过程的定量结果，通过将可识别的力学参数纳入模型。
当然，我们的模型可以再现的细胞和细胞核变形和运动的动态比这些基准模拟所捕获的更广泛，因此我们将在第4.3节中研究平均细胞速度和细胞核形状对模型参数的依赖性。
为了了解模型的不同参数如何影响细胞在正弦通道内迁移的能力及其平均速度，我们进行了一组数值实验，每次改变一个参数。实际上，本文中提出的模型很难解析地预测细胞在结构通道内运动的平均速度。因此，我们应该依靠数值模拟。为了比较结果，我们将平均细胞速度定义为细胞尖端在一个周期内的平均速度，将平均核面积定义为同一周期内核膜包围的平均面积。随着核刚度的变化，细胞平均速度值如图6a所示，核的面积变化约束()和核的弯曲模量()分别沿水平和垂直方向变化。从图6a可以看出，细胞在通道内移动的能力及其速度在很大程度上取决于细胞核的力学特性，而细胞核的力学特性决定了细胞核的变形能力，从插图中可以明显看出这一点。这些显示了原子核在给定时刻的不同参数组的变形(在参数空间中用彩色点标记)。
事实上，当弯曲核膜所需的能量过高时(即参数值较高时，对应于参数空间中的红点)，细胞迁移受到阻碍，因为在这种情况下，细胞核无法变形太多，无法获得通过正弦通道中的收缩所需的沙漏形状，并且它保持圆形，占据两个收缩之间的空间。反之，减小的值(见图6a中的灰色圆点和相应核形的插图)，保持其值不变，核可以变形并通过收缩。因此，对于给定的值，单元的速度随着弯曲模量的增加而降低，直到单元卡在通道内(零速度)。允许细胞运动的阈值取决于的值。
具体来说，当细胞核内的染色质几乎不可压实时，即该参数的高值时，核的弯曲刚度所施加的约束更具限制性。事实上，当足够高时，核变形发生的同时保持核区域接近目标区域。从图6b中可以明显看出这一点，在图6a中使用的核力学参数值相同的情况下，我们报告了相对于核目标区域的平均核面积(仍然在一个周期内计算):对于参数的高值，核的移动平均保持比其目标区域的移动多。在这种情况下，变形核甚至夹紧两次(见图6中黄色点对应的变形核)。
图6b中的图还允许对模型预测的细胞速度的可接受性进行评论。事实上，从图6b中可以清楚地看出，对于较小的参数值，核可以将其面积(对应于三维模拟中的体积)减小到生理阈值以下(图6b左侧阴影区域)。尽管有生物学证据(Friedl et al. 2011;Rowat et al. 2006;Versaevel et al. 2012)认为，细胞核的体积在大的伸长过程中没有被保留下来，这表明核膜对水性物质是可渗透的，染色质结构可以自我压缩(染色质冷凝)，细胞核体积不能在最小阈值下收缩。特别是，在Rowat等人(2006)的研究中，研究表明，尽管吸入过程中核的总体积明显减少，但稳定在初始核体积的30-40%以上。因此，应忽略允许核区低于靶区的30-40%的力学参数(见图6a中的白色等值线，对应阈值)。我们观察到，放宽对面积变化的约束(即降低的值)，使细胞核收缩，即使弯曲模量很高，细胞也可以在通道内移动，尽管速度较低(图6a顶部的绿色区域)。在这种情况下，细胞核保持一个细长的椭球形状，并且当细胞在通道内移动时不会产生沙漏变形(见图6中白点对应的核形状)。
此外，该模型预测在力学参数空间中存在一个最优区域，该区域的单元速度最大(图6a中白色虚线所划分的区域，黑点对应最大单元速度)，核区域位于目标区域的70-85%范围内。
表1尺寸的值和范围除非参数用于数值实验
图6
在正弦通道内运动时的平均细胞速度(a)和平均与目标核区域之间的比率(b)。左边的阴影区域对应一个比率。以虚线为界的区域对应于和零速度。黑点表示最大速度的点，速度高于最大速度的区域用白虚线表示。蓝点对应于为图7所取的和值。对于选择的参数，用彩色圆点标记，细胞和细胞核被说明。所使用的参数如表1所示(在线彩色图)
图7
(在线彩色图)在三种不同的通道参数下，有核和无核细胞的运动比较。顶部:通道图形的波数。中间:通道的平均宽度。底部:图案的深度。模型参数汇总如表1所示
最后，在图7中，我们考虑了描述通道几何形状的参数的不同值的细胞平均速度，并比较了有或没有细胞核描述的结果。特别是，我们首先考虑通道的脉动，以确定细胞的移动能力。对于没有细胞核的细胞(图7a中的蓝线)，只有当通道结构足够时，即通道脉动高于最小阈值时，细胞才能够迁移。
阈值仅受核存在的轻微影响。后者主要影响细胞的平均速度，在细胞核存在时减慢。具体来说，当增加的值时，细胞速度下降(见黄色和红色曲线)。然而，对于高的值，即使通道脉动的中间值，细胞也会被卡住(见图7a中的红色曲线)，因为沙漏核变形受到高弯曲模量的阻碍，并且两次后续收缩之间的空间足以容纳细胞核。进一步增加通道脉动，以高弯曲模量为特征的核再次能够迁移，因为两个收缩之间的空间对核区域的保存具有限制性，并且核可以变形获得椭球形状，而不遵循通道壁的结构。我们注意到，由于细胞膜的离散化是有限的，通道结构将不能很好地解决，因为被采取越来越大。这就解释了为什么图7a中的第一个图是在右侧切割的。请注意，这将发生在任何离散大小。
图7b分析了通道宽度对细胞速度的影响:在不考虑细胞核(蓝色曲线)的情况下，细胞甚至可以在更小的通道宽度下移动，这种“细胞迁移的物理极限”与细胞包膜和细胞质变形和进入更小间隙的能力有关。事实上，海峡内最小的收缩的大小是。当我们将细胞核包括在内时，由于细胞核阻碍了细胞变形的能力(黄色曲线)，细胞不再能够在颈部过窄的通道内移动(即较小的值)。提高弯曲模量(红色曲线)，电池可以在通道内移动，只有较大的值。另一方面，上限在所有三种情况下都是相同的，因为它与整个细胞保持与通道壁接触的能力有关，并且不受细胞核的存在和机械性能的影响。此外，图7b中的图显示了众所周知的通道宽度变化时细胞速度的双峰行为(Ulrich et al. 2009;DiMilla et al. 1993;Kuntz和Saltzman 1997):细胞不能在非常小的通道内(因为变形会太大)和非常大的通道内(因为细胞不接触通道的边界)迁移。在这种情况下，细胞运动的速度也因细胞核的存在而减慢。具体地说，如前所述，随着值的增加，速度会降低。
当改变的值并保持通道宽度固定时，也可以观察到细胞速度的双峰行为(见图7c)。在这种情况下，的上限与细胞为了在通道内移动而可以进入的小收缩的大小有关，因此它受到细胞核的存在及其机械特性的高度影响。另一方面，当通道很小时，通道几乎是平坦的，细胞不能独立于细胞核的存在及其机械特性而移动。因此，有核和无核细胞的下限是相同的，因为这与运动机制有关，而运动机制要求有足够的侧壁结构。
在这项工作中，我们提出了一个连续的力学模型，描述单细胞在限制性三维环境中不依赖粘附的迁移。细胞迁移是由细胞膜下肌动蛋白网络聚合和解聚的局部不平衡驱动的，这引起了皮质流。细胞的形状是由细胞质压力的平衡、细胞皮层的弹性行为以及与亚细胞元件和通道壁的相互作用决定的。与以往的研究不同(Jankowiak et al. 2020)，该研究明确考虑了细胞核在细胞迁移过程中的影响，纳入了核膜，核膜通过微管结构与细胞膜连接，负责细胞核在细胞内的定位。细胞核表现出对弯曲、拉伸和核膜包围区域变化的抵抗力，它成为决定细胞通过通道小颈部迁移能力的限制因素。因此，所提出的模型代表了目前技术水平的进步，因为它提供了无粘附迁移的纯机械描述，而不需要像Lee等人(2017)、Chen等人(2018)和Cao等人(2016)所做的外部化学刺激。它还允许测试核力学性能对确定细胞迁移物理极限的影响，这在以前的模型中被忽略了(Wu et al. 2018;斯托茨基和奥梅尔2022;Kaoui et al. 2008;摩尔和戈麦斯2017,2018;Jankowiak et al. 2020)。
模型方程已被离散和数值求解，以便在二维几何中模拟过程，对应于具有横向结构壁和上下平壁的3D通道的一部分。为了制定有效且稳定的(在适当的时间步长限制下)离散化方案，我们将Mikula和?ev?ovi?(2004)以及Bene? et al.(2009)提出的方法应用于我们的模型。
数值模拟定性地再现了生物实验中观察到的行为(Reversat et al. 2020)，其中指出，不依赖粘附的迁移既需要约束，也需要结构充分的通道壁。这种行为纯粹与细胞膜行为有关，不受细胞核存在的影响，因为我们的模型预测的通道结构深度的阈值(即允许细胞运动的最低值)与Jankowiak等人(2020)开发的模型预测的阈值相同。然而，通道内的细胞速度和细胞迁移的物理极限(即通道中最小开口的大小)在很大程度上取决于核的存在及其力学特性，正如参数化研究所证明的那样，通道的几何特性和细胞核的力学特性都证明了这一点。特别是，与生物学实验一致(Wolf et al. 2003, 2013)，我们观察到，在限制性环境中，一个不易变形的细胞核是细胞迁移的限制因素。事实上，通过保持通道的几何形状和细胞膜参数固定，我们可以通过仅改变细胞核的机械特性(即增加弯曲模量和弹性面积约束)来显示从迁移细胞到不移动细胞的转变。
此外，通过对核力学参数的敏感性分析，预测了在低值和中间值时，细胞达到最大速度的最佳核变形能力。
虽然没有声称提供定量的数值测量，但这项工作中提出的结果是考虑到细胞和细胞核力学的单细胞不依赖粘附迁移的综合模型的概念证明。尽管如此，这些结果需要通过将预测的进化与结构通道内移动细胞的实际时空进化进行比较，并通过跟踪核变形来定量验证。因此，需要更多的工作来研究更现实的体外和体内条件，以便定量验证该模型。
从建模的角度来看，这项研究必须被视为第一步，几个组成部分将受益于更详细的处理。特别是补偿力的作用，可归因于肌动蛋白单体的运输及其聚合，当然需要进一步的研究。例如，可以包括对肌动蛋白机制及其在细胞聚合中的影响的明确描述。另一个有趣的方向是考虑到皮层对变形的抵抗力，然后可以将其视为粘弹性而不仅仅是弹性。此外，在目前的模型中，对细胞核的力学描述过于简单，对整个细胞迁移过程中细胞核内部发生的变形以及细胞核与周围细胞质之间的液体交换的详细描述仍然缺失。最后，微管的描述非常简单，它没有考虑到一些重要的生物学观察，如一些MT靠近细胞皮层的弯曲，动态不稳定过程，MT结构锚定到细胞皮层和核膜周围的中间细丝网络的详细描述。在模型中包含这些生物学观察，对于从生物学角度描述mt所施加的主动和被动力以及它们在细胞核定位和保持细胞形状方面的作用至关重要。从生物学的角度来看，进行专门的实验来定量验证模型预测将是有趣的。事实上，尽管大多数模型参数原则上可以测量或至少可以从数值实验中估计出来，但不可能从文献中报道的生物学观察中得出所有这些参数。因此，模型参数与实验数据的拟合将是今后的工作重点。
考虑到所有这些影响，可以更全面地了解在细胞非蛋白水解迁移过程中决定细胞迁移物理极限的多种因素。
下载原文档：https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s11538-023-01187-8.pdf
